Home Toán học Bài 4.2 – Giải phương trình bậc 2 một ẩn bằng công thức nghiệm thu gọn và nhẩm nghiệm nhanh

Bài 4.2 – Giải phương trình bậc 2 một ẩn bằng công thức nghiệm thu gọn và nhẩm nghiệm nhanh

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về giải phương trình bậc 2 một ẩn bằng công thức nghiệm thu gọn và nhẩm nghiệm nhanh

1. Phương pháp giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm thu gọn.

Phương trình bậc 2 một ẩn có dạng: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Nếu  \( b\vdots 2\Rightarrow {b}’=\frac{b}{2} \)

Ta có biệt thức: \({\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac\)

+ Nếu  \( {\Delta }’>0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-{b}’-\sqrt{{{\Delta }’}}}{a} \),  \( {{x}_{2}}=\frac{-{b}’+\sqrt{{{\Delta }’}}}{a} \)

+ Nếu  \( {\Delta }’=0 \): Phương trình có một nghiệm kép.

 \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{{{b}’}}{a} \)

+ Nếu  \( {\Delta }'<0 \): Phương trình vô nghiệm.

2. Phương pháp nhẩm nghiệm nhanh.

Phương trình bậc 2 một ẩn có dạng: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

+ Nếu  \( a+b+c=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=1 \\& {{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right. \)

+ Nếu  \( a-b+c=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=-1 \\& {{x}_{2}}=-\frac{c}{a} \\\end{align} \right. \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a)  \( 5{{x}^{2}}+24x+9=0 \)

b)  \( 16{{x}^{2}}-10x+1=0 \)

c)  \( {{x}^{2}}+4x+4=0 \)

a)  \( 5{{x}^{2}}+24x+9=0 \)

Ta có:  \( a=5;b=24;c=9 \)

\(\Rightarrow {b}’=\frac{b}{2}=\frac{24}{2}=12\)

 \( {\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac={{12}^{2}}-5.9=99 \)

 \( \Rightarrow {\Delta }’>0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

\({{x}_{1}}=\frac{-{b}’-\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}=\frac{-12-\sqrt{99}}{5}=-\frac{12+3\sqrt{11}}{5}\)

\({{x}_{2}}=\frac{-{b}’+\sqrt{{{\Delta }’}}}{a}=\frac{-12+\sqrt{99}}{5}=\frac{-12+3\sqrt{11}}{5}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \( {{x}_{1}}=-\frac{12+3\sqrt{11}}{5},{{x}_{2}}=\frac{-12+3\sqrt{11}}{5} \).

b)  \( 16{{x}^{2}}-10x+3=0 \)

Ta có:  \( a=16;b=-10;c=1 \)

\(\Rightarrow {b}’=\frac{b}{2}=\frac{-10}{2}=-5\)

 \( {\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac={{(-5)}^{2}}-16.3=-23 \)

 \( \Rightarrow {\Delta }'<0 \): Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c)  \( {{x}^{2}}+4x+4=0 \)

Ta có:  \( a=1;b=4;c=4 \)

\(\Rightarrow {b}’=\frac{b}{2}=\frac{4}{2}=2\)

 \( {\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac={{2}^{2}}-1.4=0 \)

 \( \Rightarrow {\Delta }’=0 \): Phương trình có 1 nghiệm kép.

 \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{{{b}’}}{a}=-\frac{2}{1}=-2 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=-2 \).

Ví dụ 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a)  \( 23{{x}^{2}}-9x-32=0 \)

b)  \( 31,1{{x}^{2}}-50,9x+19,8=0 \)

c)  \( {{x}^{2}}-5x+4=0 \)

d)  \( \sqrt{3}{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x-1=0 \)

a)  \( 23{{x}^{2}}-9x-32=0 \)

Ta có:  \( a=23;b=-9;c=-32 \)                                       

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=23-(-9)-32=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=-1 \\& {{x}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{32}{23} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=-1\) và \({{x}_{2}}=-\frac{32}{23} \).

b)  \( 31,1{{x}^{2}}-50,9x+19,8=0 \)

Ta có:  \( a=31,1;b=-50,9;c=19,8  \)                          

Ta nhận thấy: \( a+b+c=31,1-50,9+19,8=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=1 \\& {{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{19,8}{31,1}=\frac{198}{311} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=1 \) và  \( {{x}_{2}}=\frac{198}{311} \).

c)  \( {{x}^{2}}-5x+4=0 \)

Ta có:  \( a=1;b=-5;c=4 \)

Ta nhận thấy:  \( a+b+c=1-5+4=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=1 \\& {{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4 \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=1 \) và  \( {{x}_{2}}=4 \).

d)  \(\sqrt{3}{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x-1=0 \)

Ta có:  \( a=\sqrt{3};b=1+\sqrt{3};c=-1\)         

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=\sqrt{3}-\left( 1+\sqrt{3} \right)-1=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-1 \\& {{x}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=-1 \) và \( {{x}_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!