Home Toán học Bài 4.1 – Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm

Bài 4.1 – Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức

Phương trình bậc 2 một ẩn có dạng: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Ta có biệt thức:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac \)

+ Nếu  \( \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \),  \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \)

+ Nếu  \( \Delta =0 \): Phương trình có một nghiệm kép.

 \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a} \)

+ Nếu  \( \Delta <0 \): Phương trình vô nghiệm.

 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a)  \( 2{{x}^{2}}-5x+1=0 \)

b)  \( 4{{x}^{2}}+4x+1=0 \)

c)  \( 5{{x}^{2}}-x+2=0 \)               

d)  \( -3{{x}^{2}}+2x+8=0 \)

a)  \( 2{{x}^{2}}-5x+1=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-5)}^{2}}-4.2.1=17 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5+\sqrt{17}}{4} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=\frac{5-\sqrt{17}}{4},{{x}_{2}}=\frac{5+\sqrt{17}}{4} \)

b)  \( 4{{x}^{2}}+4x+1=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4.4.1=0 \)

 \( \Rightarrow \Delta =0 \): Phương trình có 1 nghiệm kép.

\( {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2.4}=-\frac{1}{2} \)

Vậy nghiệm phương trình là  \( x=-\frac{1}{2} \).

c)  \( 5{{x}^{2}}-x+2=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-1)}^{2}}-4.5.2=-39 \)

 \( \Rightarrow \Delta <0 \): Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d)  \( -3{{x}^{2}}+2x+8=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{2}^{2}}-4.(-3).8=100 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-\sqrt{100}}{2.(-3)}=2 \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+\sqrt{100}}{2.(-3)}=-\frac{4}{3} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=2,{{x}_{2}}=-\frac{4}{3} \).

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a)  \( 2{{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+1=0 \)

b)  \( 2{{x}^{2}}-\left( 1-2\sqrt{2} \right)x-\sqrt{2}=0 \)

c) \( \frac{1}{3}{{x}^{2}}-2x-\frac{2}{3}=0 \)

d)  \( 3{{x}^{2}}+7,9x+3,36=0 \)

 

a)  \( 2{{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+1=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}-4.2.1=0 \)

 \( \Rightarrow \Delta =0 \): Phương trình có 1 nghiệm kép.

 \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Vậy nghiệm phương trình là  \( x=\frac{\sqrt{2}}{2} \).

b)  \( 2{{x}^{2}}-\left( 1-2\sqrt{2} \right)x-\sqrt{2}=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left[ -\left( 1-2\sqrt{2} \right) \right]}^{2}}-4.2.\left( -\sqrt{2} \right)=9+4\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

\( \Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{8+2.2\sqrt{2}+1}\) \(=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}+1 \)

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\left( 1-2\sqrt{2} \right)-\left( 2\sqrt{2}+1 \right)}{2.2}=\sqrt{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\left( 1-2\sqrt{2} \right)+\left( 2\sqrt{2}+1 \right)}{2.2}=\frac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=\sqrt{2},{{x}_{2}}=\frac{1}{2} \).

c)  \( \frac{1}{3}{{x}^{2}}-2x-\frac{2}{3}=0 \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x-2=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-6)}^{2}}-4.1.\left( -2 \right)=44 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

\( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-6)-\sqrt{44}}{2.1}=3-\sqrt{11} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-6)+\sqrt{44}}{2.1}=3+\sqrt{11} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \({{x}_{1}}=3-\sqrt{11},{{x}_{2}}=3+\sqrt{11}\).

d)  \( 3{{x}^{2}}+7,9x+3,36=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac=7,{{9}^{2}}-4.3.3,36=22,09 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7,9-\sqrt{22,09}}{2.1}=-\frac{21}{10} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7,9+\sqrt{22,09}}{2.1}=-\frac{8}{15} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \({{x}_{1}}=-\frac{21}{10},{{x}_{2}}=-\frac{8}{15}\).

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a)  \( 4{{x}^{2}}-9=0 \)

b)  \( 5{{x}^{2}}+20=0 \)

c)  \( 2{{x}^{2}}-2+\sqrt{3}=0 \)

d) \(3{{x}^{2}}-12+\sqrt{145}=0\)

a)  \( 4{{x}^{2}}-9=0 \) (1)

Cách 1: (chuyển số hạng tự do sang vế phải)

(1) \( \Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{9}{4} \) \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{3}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=\pm \frac{3}{2} \)

Cách 2: (bằng công thức nghiệm)     

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{0}^{2}}-4.4.(-9)=144 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0-\sqrt{144}}{2.4}=\frac{3}{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0+\sqrt{144}}{2.4}=-\frac{3}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=\pm \frac{3}{2} \).

b)  \( 5{{x}^{2}}+20=0 \)

Cách 1: (chuyển số hạng tự do sang vế phải)

(1)  \( \Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=-20 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{-20}{5}=-4<0 \): Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: (bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{0}^{2}}-4.5.20=-400 \)

 \( \Rightarrow \Delta <0 \): Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c)  \( 2{{x}^{2}}-2+\sqrt{3}=0 \)

Cách 1: (chuyển số hạng tự do sang vế phải)

(1) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}\) \(=\pm \sqrt{\frac{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Cách 2: (bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{0}^{2}}-4.2.(-2+\sqrt{3})=16-8\sqrt{3} \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0-\sqrt{16-8\sqrt{3}}}{2.2} \)  \( =\frac{-\sqrt{12-8\sqrt{3}+4}}{2.2}=\frac{-\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}}{2.2} \)  \( =\frac{-\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}{2.2}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0+\sqrt{16-8\sqrt{3}}}{2.2} \)  \( =\frac{\sqrt{12-8\sqrt{3}+4}}{2.2}=\frac{\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}}{2.2} \)  \( =\frac{2\sqrt{3}-2}{2.2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=\pm \frac{\sqrt{3}-1}{2} \).

d)  \( 3{{x}^{2}}-12+\sqrt{145}=0 \)

Cách 1: (chuyển số hạng tự do sang vế phải)

(1) \(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=12-\sqrt{145}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{12-\sqrt{145}}{3}<0\): Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: (bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{0}^{2}}-4.3.(-12+\sqrt{145})=144-12\sqrt{145} \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=\pm \frac{\sqrt{3}-1}{2} \).

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) \(5{{x}^{2}}-3x=0\)

b) \(3\sqrt{5}{{x}^{2}}+6x=0\)

c) \(2{{x}^{2}}+7x=0\)

d) \(2{{x}^{2}}-\sqrt{2}x=0\)

a) \(5{{x}^{2}}-3x=0\)

Cách 1: (giải bằng phương trình tích)

\(5{{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x(5x-3)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& 5x-3=0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=\frac{3}{5} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=0;x=\frac{3}{5}\)

Cách 2 : (giải bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4.5.0=9 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)-\sqrt{9}}{2.5}=0 \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)+\sqrt{9}}{2.5}=\frac{3}{5} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=0;x=\frac{3}{5}\)

b) \(3\sqrt{5}{{x}^{2}}+6x=0\)

Cách 1: (giải bằng phương trình tích)

\(3\sqrt{5}{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow 3x\left( \sqrt{5}x+2 \right)=0\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3x=0 \\& \sqrt{5}x+2=0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=-\frac{2\sqrt{5}}{5};x=0\)

Cách 2 : (giải bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{6}^{2}}-4.3\sqrt{5}.0=36 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6-\sqrt{36}}{2.3\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6+\sqrt{36}}{2.3\sqrt{5}}=0 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=-\frac{2\sqrt{5}}{5};x=0 \)

c) \(2{{x}^{2}}+7x=0\)

Cách 1: (giải bằng phương trình tích)

\(2{{x}^{2}}+7x=0\Leftrightarrow x\left( 2x+7 \right)=0\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& 2x+7=0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=\frac{-7}{2} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=-\frac{7}{2};x=0\)

Cách 2 : (giải bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{7}^{2}}-4.2.0=49 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-7-\sqrt{49}}{2.2}=-\frac{7}{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7+\sqrt{49}}{2.2}=0 \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=-\frac{7}{2};x=0\).

d) \(2{{x}^{2}}-\sqrt{2}x=0\)

Cách 1: (giải bằng phương trình tích)

\(2{{x}^{2}}-\sqrt{2}x=0\Leftrightarrow x\left( 2x-\sqrt{2} \right)=0\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & 2x-\sqrt{2}=0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\frac{\sqrt{2}}{2};x=0\)

Cách 2 : (giải bằng công thức nghiệm)

Ta có:  \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}-4.2.0=2 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2.2}=0 \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2.2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\frac{\sqrt{2}}{2};x=0\).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!