Home Toán học Chuyên đề Đường tròn – Ôn thi tuyển sinh lớp 10 – Phần 1

Chuyên đề Đường tròn – Ôn thi tuyển sinh lớp 10 – Phần 1

by AdminTLH

Chuyên đề Đường tròn – Ôn thi tuyển sinh lớp 10 – Phần 1

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.

a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

Xét tứ giác AHEK có:

 \( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (AB  \( \bot  \) MN);

 \( \widehat{AKE}={{90}^{O}} \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  \( \widehat{AHE}+\widehat{AKE}={{180}^{O}}   \)\(\Rightarrow  \) Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm)

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.

Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, AB  \( \bot  \) MN  \( \Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \).

Có  \( \widehat{KFN}=\widehat{MKB} \) (đồng vị và KE // FN),  \( \widehat{KNF}=\widehat{NKB} \) (so le và KE // FN)

 \( \widehat{BKN}=\widehat{MKB} \) (vì  \( \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \))

 \( \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF} \)

Do đó  \( \Delta NFK  \) cân tại K.

Xét  \( \Delta MKN  \) có KE là phân giác của  \( \widehat{MKN} \) nên  \( \frac{EM}{EN}=\frac{KM}{KN} \)   (1)

Do KE  \( \bot  \) KC nên KC là phân giác ngoài của  \( \widehat{MKN} \)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{KM}{KN} \)  (2)

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}\Leftrightarrow EM.CN=EN.CM  \)  (đpcm)

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.

+ KE = KC  \( \Rightarrow \Delta KEC  \) vuông cân tại K  \( \Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{O}} \)  \( \Rightarrow \widehat{HEB}={{45}^{O}} \) (đối đỉnh)

 \( \Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{O}} \) (vì  \( \Delta HEB  \) vuông tại H)

+  \( \Delta OKB  \) cân tại O có  \( \widehat{OBK}={{45}^{O}} \) nên  \( \Delta OKB  \) vuông tại O  \( \Rightarrow  \) OK // MN (cùng vuông góc với AB) (đpcm)

+ Kẻ đường kính KK’ \(\Rightarrow \Delta KK’M\) vuông tại M \(\Rightarrow K{{M}^{2}}+K'{{M}^{2}}=K{{{K}’}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

Lại có KK’ // MN (cùng vuông góc với AB)  \( \Rightarrow  \) cung  \( \overset\frown{K’M}=\overset\frown{KN} \) (tính chất 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau)  \( \Rightarrow K’N=KN  \)

Vậy  \( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=4{{R}^{2}} \)  (đpcm)

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính ( \( A\ne B,A\ne C \)). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R).

a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.

b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.

d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.

a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.

Xét  \( \Delta ABC  \) vuông tại A  \( \Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC  \)

b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow AB\bot OE  \)  \( \Rightarrow  \) OE là đường trung trực của AB.

 \( \Rightarrow PA=PB  \)  \( \Rightarrow \Delta OPA=\Delta OPB  \) (c – c – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{PBO}={{90}^{O}} \)  \( \Rightarrow PB\bot AO  \)

 \( \Rightarrow  \)PB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.

Giả sử PC cắt AH tại N.

Ta chứng minh được  \( \frac{PE}{PO}=\frac{BH}{BC} \) mà  \( \frac{BH}{BC}=\frac{CN}{CP} \)

 \( \Rightarrow \frac{PE}{PO}=\frac{CN}{CP} \)  \( \Rightarrow \Delta PNE\backsim \Delta PCO  \) (c – g – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PNE}=\widehat{PCO} \) mà hai góc ở vị trí so le trong  \( \Rightarrow NE//OC\Rightarrow NE//BH  \)

Lại có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow  \) N là trung điểm AH  \( \Rightarrow N\equiv M  \)

Vậy P, M, C thẳng hàng.

d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.

Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

 \( OP+OQ\ge 2\sqrt{OP.OQ} \)

Mà  \( OP.OQ=OA.PQ=PQ. \)R

 \( \Rightarrow OP.OQ  \) đạt giá trị nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất  \( \Leftrightarrow  \)PQ là khoảng cách giữa hai đường BP và CQ.

 \( \Rightarrow PQ//BC  \)  \( \Rightarrow  \)A là điểm chính giữa đường tròn.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi Trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:

a) Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

b) PR = RS.

a) Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

Ta có:  \( \widehat{MAO}={{90}^{O}} \) (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm).

Tương tự  \( \widehat{MBO}={{90}^{O}} \)

Suy ra các điểm A, N, B cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông.

Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính  \( \frac{MO}{2} \)

b) PR = RS.

Tứ giác MANB nội tiếp nên  \( \widehat{AMN}=\widehat{ABN} \)   (1)

 \( \left\{ \begin{align}& OA\bot PS \\  & OA\bot MA \\ \end{align} \right.\Rightarrow PS//MA  \)  \( \Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{RPN} \)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( \widehat{ABN}=\widehat{RPN} \) hay  \( \widehat{RBN}=\widehat{RPN} \)  \( \Rightarrow  \) tứ giác PRNB nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{BPN}=\widehat{BRN} \)  (3)

Mặt khác có:  \( \widehat{BPN}=\widehat{BAQ} \)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  \( \widehat{BRN}=\widehat{BAQ}\Rightarrow RN//SQ  \)  (5)

Từ (5) và N là trung điểm PQ nên trong  \( \Delta SPQ  \) có RN là đường trung bình, suy ra:  \( PR=RS  \) (đpcm)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!