Home Toán họcToán học 9 Bài 3 – Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D

Bài 3 – Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D

by AdminTLH

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.

a) Chứng minh Tứ giác ABEM nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: CB = MB.CD

c) Gọi I là giao điểm của AB và DC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. Chứng minh rằng AD vuông góc với JI.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.

a) Chứng minh Tứ giác ABEM nội tiếp.

Xét tứ giác ABME, ta có:

 \( \widehat{BAM}={{90}^{O}} \) (tam giác ABC vuông tại A)

 \( \widehat{BEM}={{90}^{O}}\) ( do  \( \widehat{MEC}  \)góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

 \( \Rightarrow \widehat{BAM}+\widehat{BEM}={{180}^{O}} \) và chúng đối nhau

Vậy tứ giác ABME nội tiếp đường tròn có đường kính BM (tổng hai góc đối bằng 1800)

b) Chứng minh rằng: CB = MB.CD

Xét  \( \Delta MBE  \) và  \( \Delta CDB  \), ta có:

 \( \widehat{B} \)chung

 \( \widehat{MEB}=\widehat{CDB}={{90}^{O}}  \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \( \Rightarrow \Delta MBE ∽ \Delta CBD  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{MB}{CB}=\frac{ME}{CD} \)

 \( \Rightarrow MB.CD=ME.CB  \)

c) Gọi I là giao điểm của AB và DC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. Chứng minh rằng AD vuông góc với JI.

Gọi xy là tiếp tuyến của đường tròn \Delta IBC tại I

Ta có:  \( \widehat{xIB}=\widehat{ICB} \) (cùng chắn cung IB)

Xét tứ giác ABCM, ta có:

 \( \widehat{BAC}=\widehat{BDC}={{90}^{O}} \) và cùng nhìn cạnh BC

Suy ra, tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn có đường kính BC (2 góc kề nhau cùng nhìn cạnh BC)

 \( \Rightarrow \widehat{IAD}=\widehat{DCB}=\widehat{ICB} \) (góc ở trong bằng góc đối ngoài – Tứ giác ABCM nội tiếp)

 \( \Rightarrow \widehat{IAD}=\widehat{xIB} \)

 \( \Rightarrow xy//AD  \) (so le trong)

Mặt khác,  \( xy\bot IJ  \)

 \( \Rightarrow AD\bot IJ  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!