Home Toán học Bài 7 – Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

Bài 7 – Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

by AdminTLH

Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OEBM nội tiếp.

b) \( M{{B}^{2}}=MA.MD \).

c) \( \widehat{BFC}=\widehat{MOC} \)

d) BF // AM

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

a) Tứ giác OEBM nội tiếp.

Ta có: EA = ED (giả thiết)

 \( \Rightarrow OE\bot AD \) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

 \( \Rightarrow \widehat{OEM}={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác OEBM, ta có:

 \( \widehat{OEM}={{90}^{0}} \) (cmt)

 \( \widehat{OBM}={{90}^{0}} \) (Tính chất tiếp tuyến)

 \( \Rightarrow \widehat{OEM}=\widehat{OBM} \) và chúng kề nhau cùng nhìn cạnh OM

Vậy tứ giác OEBM nội tiếp đường tròn có đường kính OM. (2 góc kề nhau bằng nhau và cùng nhìn một cạnh)

b) \( M{{B}^{2}}=MA.MD \) .

Xét  \( \Delta MBD  \) và  \( \Delta MAB  \), ta có:

 \( \widehat{M} \) chung

 \( \widehat{MBD}=\widehat{DAB}=\widehat{MAB} \) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung BD)

Suy ra:  \( \Delta MBD ∽ \Delta MAB  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{MB}{MA}=\frac{MD}{MB} \) \( \Rightarrow M{{B}^{2}}=MA.MD  \)

c) \( \widehat{BFC}=\widehat{MOC} \)

Ta có:  \( \widehat{BFC}=\frac{1}{2}\text{sđ BC} \) (góc nội tiếp)

 \( \widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}\text{sđ BC} \) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 \( \Rightarrow \widehat{BFC}=\widehat{MOC} \)

d) BF // AM

Xét tứ giác MBOC, ta có:

 \( \widehat{MBO}=\widehat{MCO}={{90}^{0}} \) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại M)

 \( \Rightarrow \widehat{MBO}+\widehat{MCO}={{180}^{0}} \) và chúng đối nhau

Suy ra, tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn có đường kính là MO

Mặt khác, tứ giác MBEO cũng nội tiếp đường tròn có đường kính là MO

 \( \Rightarrow M,B,E,O,C  \) cùng nằm trên đường tròn có đường kính là MO.

 \( \Rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{MEC} \) (cùng chắn cung MC – Tứ giác MBOC nội tiếp)

 \( \Rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{FEA} \) (do  \( \widehat{FEA}=\widehat{MEC} \) đối đỉnh)

Mặt khác,  \( \widehat{MBC}=\widehat{BFC} \) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung BC)

 \( \Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{FEA} \) và cùng nằm vị trí so le trong

 \( \Rightarrow BF//MA  \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!