Home Toán học Bài 4 – Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

Bài 4 – Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

by AdminTLH

Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: \( AE.AC=AF.AB \) .

c) Giả sử \( \widehat{BAC}={{60}^{0}} \). Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OB, OC và cung nhỏ BC của đường tròn (O;R).

d) Chứng minh: OA vuông góc với EF.

 

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp trong một đường tròn.

Xét tứ giác AEHF, ta có:

 \( \widehat{AEH}={{90}^{0}} \) (do BE vuông góc AC)

 \( \widehat{AFH}={{90}^{0}} \) (do CF vuông góc AB)

 \( \Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{AFH}={{180}^{0}} \) và chúng đối nhau.

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp trong một đường tròn có đường kính AH.

b) Chứng minh: \( AE.AC=AF.AB \) .

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\), ta có:

 \( \widehat{BAC} \) chung

 \( \widehat{AEB}=\widehat{AFC}={{90}^{0}} \)

Suy ra: \(\Delta AEB ∽ \Delta AFC\) (g – g)

Suy ra:  \( \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)  \( \Rightarrow AE.AC=AF.AB  \)

c) Giả sử \( \widehat{BAC}={{60}^{0}} \). Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OB, OC và cung nhỏ BC của đường tròn (O;R).

Ta có: \(\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{120}^{0}}\) (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

Vậy:  \( {{S}_{\text{qu }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ t (BOC)}}}=\frac{n.\pi .{{R}^{2}}}{360}=\frac{120.\pi .{{R}^{2}}}{360}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}} \) (đơn vị diện tích)

d) Chứng minh: OA vuông góc với EF.

Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O;R) nên  \( Ax\bot OA \)

Ta có:  \( \widehat{xAC}=\widehat{ABC} \)  (1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung AC)

Xét tứ giác BFEC, ta có:

 \( \widehat{BFC}=\widehat{BEC}={{90}^{0}} \) (do BE và CF là đường cao của tam giác ABC)

Và chúng cùng nhìn cạnh BC

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp (hai góc kề nhau và bằng nhau cùng nhìn cạnh BC)

 \( \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{FBC}=\widehat{ABC} \) (2) (góc trong bằng góc đối ngoài – Tứ giác BFEC nội tiếp)

Từ (1) và (2), suy ra:  \( \widehat{xAC}=\widehat{AEF} \) và chúng nằm ở vị trí so le trong

 \( \Rightarrow Ax//EF\Rightarrow EF\bot OA \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!