Home Toán họcToán học 9mỗi ngày 1 bài hình học Bài 5 – Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB, C là điểm trên (O) (C khác A và B), D là điểm chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H

Bài 5 – Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB, C là điểm trên (O) (C khác A và B), D là điểm chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H

by AdminTLH

Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB, C là điểm trên (O) (C khác A và B), D là điểm chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H.

a) Chứng minh:

+ Tứ giác CMDH nội tiếp;

+  \( MA.MD=MB.MC \)

+ MB có độ dài không đổi khi C di động trên (O).

b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDH, E là giao điểm của đường thẳng OD và tiếp tuyến tại A của (O). Chứng minh: ba điểm E, I, C thẳng hàng.

Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB, C là điểm trên (O) (C khác A và B), D là điểm chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H.

a) Chứng minh:

+ Tứ giác CMDH nội tiếp;

Xét tứ giác CMDH, ta có:

 \( \widehat{HDM}=\widehat{HCM}={{90}^{0}} \) (do  \( \widehat{ADB}=\widehat{ACB}={{90}^{0}} \), góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

 \( \Rightarrow \widehat{HDM}+\widehat{HCM}={{180}^{0}} \) và chúng đối nhau

Vậy tứ giác CMDH nội tiếp đường tròn có đường kính MH (tổng hai góc đối bằng 1800)

+  \( MA.MD=MB.MC \)

Xét  \( \Delta MDB  \) và  \( \Delta MCA  \), ta có:

 \( \widehat{M} \) chung

 \( \widehat{MDB}=\widehat{MCA}={{90}^{0}} \)

Do đó  \( \Delta MDB ∽ \Delta MCA  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{MD}{MC}=\frac{MB}{MA} \)

 \( \Rightarrow MA.MD=MB.MC  \)

+ MB có độ dài không đổi khi C di động trên (O).

D là điểm chính giữa của cung AC

 \( \Rightarrow AD=DC  \)

Vì  \( \Delta ACM  \) vuông tại C nên đường tròn ngoại tiếp \Delta ACM có tâm D là trung điểm đường kính MA.

 \( \Rightarrow DM=DC=AD  \)

 \( \Rightarrow \Delta DMC  \) cân tại D

 \( \Rightarrow \widehat{DMC}=\widehat{DCM} \) (1)

Mặt khác, tứ giác ADCB nội tiếp đường tròn (O) nên

 \( \widehat{DAB}=\widehat{MCD} \) (2) (góc trong bằng góc đối ngoài)

Từ (1) và (2), suy ra:  \( \widehat{MAB}=\widehat{AMB} \)

Suy ra,  \( \Delta AMB  \) cân tại B

Do đó:  \( AB=MB=2R \)  (không đổi)

b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDH, E là giao điểm của đường thẳng OD và tiếp tuyến tại A của (O). Chứng minh: ba điểm E, I, C thẳng hàng.

Xét  \( \Delta ABM  \), ta có:

 \( BD\bot AM \)  và  \( AC\bot MB \)

 \( \Rightarrow H  \) là trực tâm của  \( \Delta ABM  \)

Do đó:  \( MH\bot AB \)

Mà  \( AE\bot AB \)  (tính chất tiếp tuyến)

 \( \Rightarrow MH//AE  \)

Vì vậy  \( \widehat{MIE}=\widehat{AEC} \) (so le trong) và  \( \widehat{IHC}=\widehat{EAC} \) (đồng vị)

Do I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDH nên IH = IC

Suy ra,  \( \Delta IHC  \) cân tại C nên   \( \widehat{CIH}={{180}^{0}}-2\widehat{IHC} \) và \(\widehat{IHC}=\widehat{ICH}\)

 \( \Rightarrow \widehat{ICH}=\widehat{EAC} \)

Vì vậy  \( \Delta AEC  \) cân tại E nên  \( \widehat{AEC}={{180}^{0}}-2\widehat{EAC}={{180}^{0}}-2\widehat{IHC}=\widehat{CIH} \)

Do đó:  \( \widehat{MIE}=\widehat{AEC}=\widehat{CIH} \)

Vậy ba điểm E, I, C thẳng hàng.

.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!