Home Toán học Cách xác định Hàm số bậc hai

Cách xác định Hàm số bậc hai

by AdminTLH

A. Phương pháp xác định Hàm số bậc hai

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c,  \( a\ne 0 \). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Các kiến thức cần nhớ và dữ kiện đề thường cho:

+ Dựa vào đồ thị: hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0.

+ Nhận đường thẳng  \( x=-\frac{b}{2a} \) làm trục đối xứng.

+ Tọa độ đỉnh:  \( I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right) \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{y}_{\min }}=-\frac{\Delta }{4a}\text{ }khi\text{ }a>0 \\  & {{y}_{\max }}=-\frac{\Delta }{4a}\text{ }khi\text{ }a<0 \\ \end{align} \right. \) tại  \( x=-\frac{b}{2a} \).

+ Tọa độ điểm thuộc đồ thị Parabol:  \( A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\in \left( P \right)\Rightarrow ax_{A}^{2}+b{{x}_{A}}+c={{y}_{A}} \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Xác định parabol (P): \( y=a{{x}^{2}}+bx+c  \),  \( \left( a\ne 0 \right) \), biết:

a) (P) đi qua A(2;3) và có đỉnh I(1;2)

b) c = 2, (P) đi qua \( B\left( 3;-4 \right) \) và có trục đối xứng là \( x=-\frac{3}{2} \).

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( \frac{3}{4} \) khi \( x=\frac{1}{2} \) và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1.

d) (P) đi qua M(4;3) đồng thời cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho \( \Delta INP \) có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3. (I là đỉnh của (P)).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(2;3)\in (P) \\  & I(1;2)\in (P) \\  & x=1=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 4a+2b+c=3 \\  & a+b+c=2 \\  & 2a+b=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=-2 \\  & c=3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy (P) cần tìm là:  \( y={{x}^{2}}-2x+3 \).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{align} & c=2 \\ & B(3;-4)\in (P) \\  & x=-\frac{3}{2}=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c=2 \\  & 9a+3b+c=-4 \\  & 6a-2b=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-\frac{1}{3} \\  & b=-1 \\  & c=2 \\ \end{align} \right.\)

Vậy, (P) cần tìm là:  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}-x+2 \)

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( \frac{3}{4} \) khi \( x=\frac{1}{2} \)  \( \Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4} \right) \), a > 0 và trục đối xứng  \( x=\frac{1}{2} \).

Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi x = 1  \( \Rightarrow A(1;1)\in (P) \)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2} \\  & I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4} \right)\in (P) \\  & A(1;1)\in P \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a+b=0 \\  & \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=\frac{3}{4} \\  & a+b+c=1 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=-1 \\  & c=1 \\ \end{align} \right.\)

Vậy, (P) cần tìm là:  \( y={{x}^{2}}-x+1 \)

d) Vì (P) đi qua M(4;3) nên 16a + 4b + c = 3 (1)

Mặt khác, (P) cắt Ox tại N(3; 0) suy ra: 9a + 3b + c = 0    (2)

Từ (1) và (2), ta trừ vế với vế: 7a + b = 3  \( \Rightarrow b=3-7a  \)

(P) cắt Ox tại P nên P(t;0) , với t < 3  \( \Rightarrow NP=3-t  \)

Theo định lí Viet, ta có:

 \( \left\{ \begin{align}  & t+3=-\frac{b}{a} \\  & 3t=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( t+3=\frac{-3+7a}{a}\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{4-t}{3} \)     (*)

Gọi H là hình chiếu của  \( I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right) \) lên trục hoành Ox.

\(\Rightarrow IH=\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|=\left| \frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right|\)

Ta có:  \( {{S}_{\Delta INP}}=\frac{1}{2}IH.NP\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right|.\left( 3-t \right)=1 \)

 \( \Leftrightarrow \left| \frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right|.\left( 3-t \right)=2\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{c}{a} \right|=\frac{2}{\left| a \right|} \)

 \( \Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| \frac{{{(t+3)}^{2}}}{4}-3t \right|=\frac{2}{\left| a \right|}\Leftrightarrow {{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8}{\left| a \right|} \)      (**)

Thay (*) vào (**), ta được:  \( {{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8(4-t)}{3} \)  \( \Leftrightarrow 3{{t}^{3}}-27{{t}^{2}}+73t-49=0\Leftrightarrow t=1 \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=-4 \\  & c=3 \\ \end{align} \right. \).

Vậy,  \( (P):y={{x}^{2}}-4x+3 \).

Ví dụ 2. Xác định hàm số (P): \( y={{x}^{2}}+bx+c  \) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm A(1;0) và \( B(-2;-6) \).

b) (P) có đỉnh I(1;4)

c) (P): \( y=a{{x}^{2}}+bx+c \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh  \( S(-2;-1) \).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(1;0)\in (P) \\  & B(-2;-6)\in (P) \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 1+b+c=0 \\  & 4-2b+c=-6 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & b+c=-1 \\  & 2b-c=10 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & b=3 \\  & c=-4 \\ \end{align} \right. \)

Vậy (P):  \( y={{x}^{2}}+3x-4 \)

b) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & I(1;4)\in (P) \\ & x=1=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & 1+b+c=4 \\  & -\frac{b}{2}=1 \\ \end{align} \right. \)

 \(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & b=-2 \\  & c=5 \\ \end{align} \right. \).

Vậy (P):  \( y={{x}^{2}}-2x+5 \)

c) (P) cắt Oy tại điểm có tung độ Oy (x = 0) bằng 3 suy ra: c = 3 .

Ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & c=3 \\  & S(-2;-1)\in (P) \\  & x=-2=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & c=3 \\  & 4a-2b+c=-1 \\ & 4a-b=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\  & b=4 \\ & c=3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy (P): \( y={{x}^{2}}+4x+3 \) .

Ví dụ 3. Viết phương trình của parabol (P): \( y=a{{x}^{2}}+bx+2 \),  \( a\ne 0 \), biết:

a) Parabol qua A(1;5) và B(-2;8).

b) Parabol qua A(3;-4) và có trục đối xứng là đường thẳng \( x=-\frac{3}{2} \).

c) Parabol có đỉnh là S(2;-2).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(1;5)\in (P) \\  & B(-2;8)\in (P) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a+b+2=5 \\  & 4a-2b+2=8 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+b=3 \\  & 4a-2b=6 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2 \\  & b=1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy phương trình của (P) là:  \( y=2{{x}^{2}}+x+2 \).

b) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(3;-4)\in (P) \\ & x=-\frac{3}{2}=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 9a+3b+2=-4 \\  & 6a-2b=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 9a+3b=-6 \\  & 6a-2b=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-\frac{1}{3} \\  & b=-1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, phương trình của (P) là:  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}-x+2 \).

c) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & S(2;-2)\in (P) \\  & x=2=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 4a+2b+2=-2 \\  & 4a=-b \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 4a+2b=-4 \\  & 4a+b=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=-4 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, phương trình của (P) là:  \( y={{x}^{2}}-4x+2 \)

Ví dụ 4. Viết phương trình của parabol (P): \( y=a{{x}^{2}}+bx+c  \), biết:

a) (P) đi qua điểm A(8;0) và có đỉnh S(6;-12).

b) (P) đi qua điểm A(3;4), B(0;2) và trục đối xứng là đường thẳng x = 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(8;0)\in (P) \\  & S(6;-12)\in (P) \\  & x=6=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 64a+8b+c=0 \\  & 36a+6b+c=-12 \\  & 12a+b=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=3 \\  & b=-36 \\  & c=96 \\ \end{align} \right. \)

Vậy (P):  \( y=3{{x}^{2}}-36x+96 \).

b) Ta có: \( \left\{ \begin{align} & A(3;4)\in (P) \\  & B(0;2)\in (P) \\  & x=1=-\frac{b}{2a} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 9a+3b+c=4 \\  & c=2 \\ & 2a=-b \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 9a+3b=2 \\  &2a+b=0 \\  & c=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{2}{3} \\  & b=-\frac{4}{3} \\ & c=2 \\ \end{align} \right. \)

Vậy (P):  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{2}}-\frac{4}{3}x+2 \)

Ví dụ 5.

a) Tìm m để Parabol (P): \( y={{x}^{2}}+(2m+1)x+{{m}^{2}}-1 \) có trục đối xứng là đường thẳng \( x=\frac{3}{2} \).

b) Tìm m để Parabol (P): \( y={{x}^{2}}+(2m+1)x+{{m}^{2}}-1 \) cắt trục hoành tại hai diêm phân biệt.

c) Tìm tập hợp các đỉnh của họ parabol (P): \( y={{x}^{2}}+(2m+1)x+{{m}^{2}}-1 \) khi m thay đổi.

Hướng dẫn giải:

a) Trục đối xứng của (P) có: \( x=-\frac{b}{2a}\Rightarrow -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{-2m-1}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2m+1=-3 \)

 \( \Leftrightarrow m=-2 \)

b) Xét phương trình: \( {{x}^{2}}+(2m+1)x+{{m}^{2}}-1=0 \) (*)

Điều kiện của bài toán  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}-1)>0\) \( \Leftrightarrow 4m+5>0\Leftrightarrow m>-\frac{5}{4} \)

c) Tọa độ đỉnh S(xS, yS) là:

\(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{S}}=\frac{-2m-1}{2} \\  & {{y}_{S}}=\frac{-4m-5}{4} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{x}_{S}}=-2m-1 \\  & 4{{y}_{S}}=-4m-5 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -4{{x}_{S}}=4m+2 \\  & 4{{y}_{S}}=-4m-5 \\ \end{align} \right.\)

Cộng vế với vế hai phương trình ta được: \(-4{{x}_{S}}+4{{y}_{S}}=-3\).

 \( \Leftrightarrow {{y}_{S}}={{x}_{S}}-\frac{3}{4} \)

Vậy tập hợp các đỉnh của parabol khi m thay đổi là đường thẳng:  \( y=x-\frac{3}{4} \).

Ví dụ 6. Cho parabol (P): \( y={{x}^{2}}-3x+2 \) và đường thẳng (d): y = x + m.

a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Với điều kiện tồn tại của m ở câu a) tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

a) Tọa độ giao điểm A, B (nếu có) của (P) và (d) thỏa mãn hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align} & y={{x}^{2}}-3x+2 \\ & y=x+m \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}-3x+2=x+m \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2-x-m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2-m=0 \)   (*)

(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow m+2>0 \) \( \Leftrightarrow m>-2 \)

b) Với m > -2, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là hoành độ tương ứng của A và B.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2-m \\ \end{align} \right. \) (Định lý Viet)

Khi đó, tung độ của A, B lần lượt là y1 = x1 + m; y2 = x2 +m.

Tọa độ trung điểm I(xI; yI) là:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \\  & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{I}}=2 \\  & {{y}_{I}}=2+m \\ \end{align} \right. \)

Vậy tập hợp các điểm I là đường thẳng x = 2, với các tung độ thỏa mãn điều kiện sau: y > 0. (Vì  \( m>-2\Rightarrow 2+m>0 \) \( \Rightarrow {{y}_{I}}>0 \))

Chủ đề 2. Hàm số bậc hai

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!