Home Toán học Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m – Mức vận dụng

Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m – Mức vận dụng

by AdminTLH

Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m – Mức vận dụng

Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng  \( (d):y=x-m+1 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2(m-2){{x}^{2}}+(8-5m)x+m-5 \) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \) thỏa mãn điều kiện  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=20 \) là:

A. 3

B. 1                                   

C. 0                                   

D.  \( -\frac{3}{2} \)

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

 \( {{x}^{3}}+2(m-2){{x}^{2}}+(8-5m)x+m-5=x-m+1 \)

 \( \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}+(2m-2)x-m+3 \right]=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{3}}=2 \\  & {{x}^{2}}+(2m-2)x-m+3=0\text{ }(1) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \)phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+(m-3)>0 \\  & 4+(2m-2).2-m+3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -1 \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-1 \\ & m>2 \\ \end{align} \right. \) (2)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-(2m-2) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m+3 \\ \end{align} \right. \)

Theo giả thiết:  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=20 \)\(\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{3}^{2}=20\)

\(\Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}+2(m-3)+4=20\)

\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=3 \\  & m=-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn (2))

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-{{m}^{3}}\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) và đồ thị \(d:y={{m}^{2}}x+2{{m}^{3}}\). Biết rằng m1, m2 (m1 > m2) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=83\). Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1, m2?

A. \({{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0\)

B. \(m_{1}^{2}+2{{m}_{2}}>4\)

C. \(m_{1}^{2}+2{{m}_{1}}>4\)

D. \({{m}_{1}}-{{m}_{2}}=0\)

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm):  \( {{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-{{m}^{3}}={{m}^{2}}x+2{{m}^{3}} \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3mx-{{m}^{2}}x-3{{m}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-{{m}^{2}}x \right)+\left( 3m{{x}^{2}}-3{{m}^{3}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)+3m\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left( x+3m \right)\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-3m \\ & x=m \\  & x=-m \\ \end{align} \right. \)

Để đường thẳng d cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3  \( \Leftrightarrow m\ne 0 \).

Khi đó: \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=83\) \( \Leftrightarrow {{m}^{4}}+{{(-m)}^{4}}+{{(-3m)}^{4}}=83 \)

 \( \Leftrightarrow 83{{m}^{4}}=83\Leftrightarrow m=\pm 1 \) \( \Rightarrow {{m}_{1}}=1,{{m}_{2}}=-1\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0 \)

Ví dụ 3. (THPTQG – 2017 – 123) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng  \( y=mx-m+1 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2 \) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.

A. \( m\in \left( -\frac{5}{4};+\infty \right) \)          

B.  \( m\in \left( -2;+\infty  \right) \)           

C.  \( m\in \mathbb{R} \)                             

D.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left[ 4;+\infty  \right) \)

Đáp án B.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2=mx-m+1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-mx+m+1=0 \) (1)

 \( \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-m-1 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \\ \end{align} \right. \)

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thì phương trình  \( {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1+m+1>0 \\  & 1-2-m-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m>-2 \\ & m\ne -2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>-2\)

Vậy với  \( m>-2 \) thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 1, x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của  \( {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \)).

Mà  \( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=1 \)  suy ra điểm có hoành độ x = 1 luôn là trung điểm của hai điểm còn lại.

Nên luôn có 3 điểm A, B, C thỏa mãn AB = BC.

Vậy  \( m>-2 \).

Ví dụ 4. (THPTQG – 2017 – 110) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \( y=-mx  \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m+2 \) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.

A. \( m\in \left( -\infty ;-1 \right) \)

B.  \( m\in \left( -\infty ;+\infty  \right) \)

C.  \( m\in \left( 1;+\infty  \right) \)             

D.  \( m\in \left( -\infty ;3 \right) \)

Đáp án D.

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

 \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m+2=-mx  \) \( \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m-2 \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\  & {{x}^{2}}-2x+m-2=0 \\ \end{align} \right. \)

Đặt nghiệm x2 = 1. Từ giả thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Khi đó phương trình  \( {{x}^{2}}-2x+m-2=0 \) phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng  \( {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2=2{{x}_{2}} \))

Vậy ta chỉ cần  \( {\Delta }’=1-(m-2)>0\Leftrightarrow m<3 \)

Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba \( y=f(x) \) có đồ thị (C) như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình  \( y=x-1 \).

Biết phương trình  \( f(x)=0 \) có ba nghiệm  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \). Giá trị của x1x3 bằng:

A. \( -3 \)

B.  \( -\frac{7}{3} \)          

C.  \( -2 \)           

D.  \( -\frac{5}{2} \)

Đáp án C.

Ta có: \( f(x)=x-1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\  & x=1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right. \)

f(x) là hàm số bậc ba nên  \( f(x)-(x-1)=a(x+1)(x-1)(x-3) \)

 \( \Rightarrow f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)+x-1 \);

 \( f(0)=2\Leftrightarrow a=1 \)

 \( \Rightarrow f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)+x-1 \)             

\( f(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1={{x}_{2}} \\ & (x+1)(x-3)+1=0\text{  }(2) \\ \end{align} \right. \)

x1,x3 là các nghiệm của (2) nên ta có  \( {{x}_{1}}{{x}_{3}}=-2 \).

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m\in \left[ -2018;2019 \right] \) để đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}-3mx+3 \) và đường thẳng y=3x+1 có duy nhất một điểm chung?

A. 1

B. 2019

C. 4038                            

D. 2018

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{3}}-3mx+3=3x+1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=3mx\Leftrightarrow 3m=\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{x}\text{ }(1) \)

Xét hàm số \(f(x)=\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{x}={{x}^{2}}-3+\frac{2}{x}\)

\({f}'(x)=2x-\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}-2}{{{x}^{3}}}\); \({f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1\)

Bảng biến thiên:

Khi đó yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow m<0\).

Mà \( m\in \left[ -2018;2019 \right]\overset{m\in \mathbb{Z}}{\rightarrow} \) có 2018 giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 7. Cho hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m  \). Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

A. 1

B. 2

C. 3                                   

D. 0

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m=0 \) (*)

Phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng  \( \xrightarrow{{}} \) phương trình có một nghiệm  \( {{x}_{0}}=-\frac{b}{3a} \).

Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.

Thay x = m vào phương trình (*), ta được:  \( {{m}^{3}}-3m.{{m}^{2}}+2m=0 \)

\( \Leftrightarrow -2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\pm 1 \\ & m=0 \\ \end{align} \right. \)

Thử lại:

+ Với m = 1, ta được: \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1-\sqrt{3} \\  & x=1 \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Do đó, m = 1 thỏa mãn.

+ Với  \( m=-1 \), ta được: \( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1+\sqrt{3} \\  & x=-1 \\  & x=-1-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Do đó  \( m=-1 \) thỏa mãn.

+ Với m = 0, ta được:  \( {{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0 \).

Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

Vậy  \( m=\pm 1 \) là hai giá trị cần tìm.

Ví dụ 8. Phương trình  \( {{x}^{3}}-6mx+5=5{{m}^{2}} \) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi

A. m = 0

B. \( m=-1\vee m=1 \)    

C. m = 1                          

D.  \( m\in \varnothing  \)

Đáp án C.

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{x}^{3}}-6mx+5-5{{m}^{2}}=0 \)

Đặt  \( y=f(x)={{x}^{3}}-6mx+5-5{{m}^{2}} \) có  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}-6m; {f}”(x)=6x  \).

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow Hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {f}'(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( f({{x}_{1}}).f({{x}_{2}})<0 \).

3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên  \( {{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{3}}-{{x}_{2}} \)

Suy ra, x2 là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của  \( {f}”(x)=0 \)

Cho  \( {f}”(x)=0\Leftrightarrow 6x=0\Leftrightarrow x=0 \)

Với x = 0, ta có:  \( 5-5{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\pm 1 \).

Thử lại:

+ Với m =1 thì ta có:  \( {{x}^{3}}-6x+5=5\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-6 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{6} \\ \end{align} \right. \)

Do đó, m = 1 thỏa mãn.

+ Với  \( m=-1 \) thì ta có:  \( {{x}^{3}}+6x+5=5\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+6 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=0 \)

Do đó,  \( m=-1 \) không thỏa mãn.

Ví dụ 9. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số \( y=-2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2 \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án C.

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình

 \( -2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2=0 \)

Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3.

Khi đó, ta có:

 \( y=-2\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right) \) \( =-2{{x}^{3}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \)

Đồng nhất thức ta được:

\(\left\{ \begin{align}& 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-3{{m}^{2}} \\ & -2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)={{m}^{3}}+2m \\  & 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=2 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{-3{{m}^{2}}}{2}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\frac{{{m}^{3}}+2m}{2}\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=1\begin{matrix}  {} & {}  \\\end{matrix}(3) \\ \end{align} \right.\)

Vì x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân nên  \( {{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2} \) (4)

Từ (2) và (3):  \( {{x}_{2}}=1 \). Thay vào phương trình (*) rút ra được  \( \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=1 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \).

Với m = 0  \( \Rightarrow\) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}+2=0\Leftrightarrow x=1 \) (không thỏa mãn)

Với m = 1  \( \Rightarrow  \) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2 \\  & {{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{3}}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Với m = 2  \( \Rightarrow  \)phương trình (*): \( {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-6x-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\  & {{x}_{2}}=1 \\  & {{x}_{1}}=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.

Ví dụ 10. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+\left( {{m}^{2}}-2 \right)x+2{{m}^{2}}+4 \) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là

A. \( m=\pm 2 \)

B.  \( m=\pm 1 \)             

C.  \( m=\pm \sqrt{3} \)  

D.  \( m=\pm \sqrt{2} \)

Đáp án D.

Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là  \( B\left( 0;2{{m}^{2}}+4 \right) \)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

 \( {{x}^{3}}+\left( {{m}^{2}}-2 \right)x+2{{m}^{2}}+4=0 \) \( \Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+{{m}^{2}}+2 \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\  & {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}+1=0 \\ \end{align} \right. \)

Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là  \( A\left( -2;0 \right) \).

Diện tích tam giác ABC là:  \( S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.2.\left( 2{{m}^{2}}+4 \right)=8 \) \( \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2} \)

Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) và đường thẳng  \( y=x+4 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng  \( 8\sqrt{2} \) với I(1;3).

A. 3

B. 8

C. 1                                   

D. 5

Đáp án C.

Gọi đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4\) là (Cm) và đồ thị hàm số  \( y=x+4 \) là (d).

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) (*)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & g(x)={{x}^{2}}+2mx+m+2=0 \\ \end{align} \right. \)

(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{g}}>0 \\ & g(0)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m-2>0 \\ & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2  \end{cases} \) (**)

+ Với x = 0 là hoành độ điểm A, hoành độ điểm B, C là hai nghiệm x1, x2 của phương trình g(x) = 0.

+  \( B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( {{x}_{2}}+4 \right)-\left( {{x}_{1}}+4 \right) \right]}^{2}}=2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \) (do B, C thuộc đường thẳng (d))

 \( =2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right) \)

+ Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng  \( x-y+4=0 \), ta có:

 \( {{d}_{\left( I,(d) \right)}}=\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \)

+  \( {{S}_{\Delta IBC}}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( I,(d) \right)}}=8\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}B{{C}^{2}}.{{\left[ {{d}_{\left( I,(d) \right)}} \right]}^{2}}=128\Leftrightarrow \frac{1}{4}.8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right).2=128 \)

\( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{1+\sqrt{137}}{2} \\  & m=\frac{1-\sqrt{137}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa điều kiện (**))

Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1.

Ví dụ 12. Đường thẳng d có phương trình \( y=x+4 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M(1;3). Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. m = 3

B. m = 2 hoặc m = 3       

C.  \( m=-2 \) hoặc  \( m=-3 \)             

D.  \( m=-2 \) hoặc m = 3.

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & {{x}^{2}}+2mx+m-2=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-m-2>0 \\  & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2 \end{cases} \) (**)

Giả sử  \( B\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+4 \right) \),  \( C\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+4 \right) \) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) khi đó

 \( BC=\sqrt{2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}} \) \( =\sqrt{2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16} \)

\({{S}_{\Delta MBC}}=\frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( M,(d) \right)}}=\frac{1}{2}.BC.\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=4\)

\(\Rightarrow BC=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16}=4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-2 \\  & m=3 \\ \end{align} \right.\)

 So sánh điều kiện (**) ta có: m = 3.

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!