Home Toán học Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m

Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m

by AdminTLH

A. Tóm tắt lý thuyết về Bài toán tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 chứa tham số m

Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng  \( d:y=px+q  \) cắt đồ thị hàm số (C):  \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d  \) tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K? (dạng có điều kiện)

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=px+q  \)

Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x = xO để chia Hoocner được:

\( \left( x-{{x}_{0}} \right)\left( a{{x}^{2}}+{b}’x+{c}’ \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x={{x}_{0}} \\  & g(x)=a{{x}^{2}}+{b}’x+{c}’=0 \\ \end{align} \right. \)

Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình  \( g(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt khác xO

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\Delta }_{g(x)}}>0 \\ & g({{x}_{0}})\ne 0 \\ \end{align} \right. \). Giải hệ này, tìm được giá trị  \( m\in {{D}_{1}} \).

Bước 3. Gọi  \( A\left( {{x}_{0}};p{{x}_{0}}+q \right) \),  \( B\left( {{x}_{1}};p{{x}_{1}}+q \right) \),  \( C\left( {{x}_{2}};p{{x}_{2}}+q \right) \) với x1, x2 là hai nghiệm của g(x) = 0.

Theo Viet, ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{{{b}’}}{c} \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{{{c}’}}{a} \\ \end{align} \right. \)  (1)

Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x2 (2)

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m.

Giải chúng sẽ tìm được giá trị  \( m\in {{D}_{2}} \).

Kết luận:  \( m\in {{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \)

Một số công thức tính nhanh “thường gặp” liên quan đến cấp số

+ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số  \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d  \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Điều kiện cần: Giả sử x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \)

Khi đó:  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}}) \), đồng nhất hệ số ta được:  \( {{x}_{2}}=-\frac{b}{3a} \)

Thế  \( {{x}_{2}}=-\frac{b}{3a} \) vào phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.

Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số  \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d  \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.

Điều kiện cần: Giả sử x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \).

Khi đó:  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}}) \), đồng nhất hệ số ta được:  \( {{x}_{2}}=\sqrt[3]{-\frac{d}{a}} \)

Thế  \( {{x}_{2}}=\sqrt[3]{-\frac{d}{a}} \) vào phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.

Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) có 3 nghiệm phân biệt.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Đường thẳng \( \Delta  \) có phương trình  \( y=2x+1 \) cắt đồ thị của hàm số  \( y={{x}^{3}}-x+3 \) tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A(xA;yA) và B(xB;yB) trong đó xB < xA. Tìm xB + yB?

A. \( {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=-5 \)

B.  \( {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=-2 \)             

C.  \( {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=4 \)               

D.  \( {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=7 \)

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của  \( \Delta  \) và  \( y={{x}^{3}}-x+3 \):

 \( {{x}^{3}}-x+3=2x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2\Rightarrow y=-3 \\ & x=1\Rightarrow y=3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy A(1;3),  \( B(-2;-3) \) \( \Rightarrow {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=-5 \)

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \) cắt đường thẳng  \( y=m  \) tại ba điểm phân biệt.

A. \( m\in \left( -\infty ;-4 \right) \)

B.  \( m\in \left( -4;0 \right) \)             

C.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

D.  \( m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right) \)

Đáp án B.

Ta có: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\Rightarrow {y}’=3{{x}^{2}}-6x\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \) cắt đường thẳng  \( y=m  \) tại ba điểm phân biệt khi  \( -4<m<0 \).

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=m  \) có ba nghiệm phân biệt.

A. \( m\in \left[ 2;+\infty \right) \)                           

B.  \( m\in \left( -\infty ;-2 \right] \)             

C.  \( m\in \left( -2;2 \right) \)                      

D.  \( m\in \left[ -2;2 \right] \)

Đáp án C.

Xét hàm số  \( y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\Rightarrow {y}’=3{{x}^{2}}+6x  \)

Lập bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình  \( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=m  \) (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\) và đường thẳng \(y=m\).

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi  \( -2<m<2 \).

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \) (C) cắt đường thẳng  \( d:y=m(x-1) \) tại ba điểm phân biệt x1, x2, x3.

A. \( m>-2 \)

B.  \( m=-2 \)                    

C.  \( m>-3 \)                   

D.  \( m=-3 \)

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

 \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m(x-1) \) (1)

Phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2+m=0 \) \( \Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}-2x-m-2)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x-1=0 \\ & f(x)={{x}^{2}}-2x-m-2=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\  & f(x)={{x}^{2}}-2x-m-2=0\begin{matrix}  {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1, vậy để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’=1+m+2>0 \\ & f(1)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>-3 \\  & m\ne -3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>-3 \)

Vậy  \( m>-3 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình \( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=2m+1 \) có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng

A. \( -\frac{1}{2} \)

B.  \( -\frac{3}{2} \)                    

C.  \( -\frac{5}{2} \)         

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án B.

Xét hàm số  \( y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \) \( \Rightarrow {y}’=6{{x}^{2}}-6x  \)

 \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow x=0\vee x=1 \)

Bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị:

\( \left\{ \begin{align}  & (C):y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \\  & d:y=2m+1 \\ \end{align} \right. \)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2m+1=-1 \\ & 2m+1=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-1 \\ & m=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow S=\left\{ -1;-\frac{1}{2} \right\} \)

Vậy tổng các phần tử của S bằng  \( -1+\left( -\frac{1}{2} \right)=-\frac{3}{2} \).

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \( y=-x+5 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5 \) tại 3 điểm phân biệt

A. \( \left[ \begin{align} & m<1 \\ & m>2 \\ \end{align} \right. \)

B. \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m\le 1  \end{matrix}\right.    \\   m\ge 2 &   \\   \end{align} \right.  \)                             

C. \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m < 1  \end{matrix}\right.    \\   m > 2 &   \\   \end{align} \right.  \)                              

D. \( \left[ \begin{align} & m\le 1 \\ & m\ge 2 \\ \end{align} \right. \)

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm chung là:  \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5=-x+5 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(3m-2)x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+2mx+3m-2=0\text{  }(1) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng \(  y=-x+5 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5 \) tại 3 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’={{m}^{2}}-3m+2>0 \\ & 3m-2\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>2 \\ m<1  \end{array}\right.  \\ m\ne \frac{2}{3}  \end{cases} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m < 1  \end{matrix}\right.    \\   m > 2 &   \\   \end{align} \right.  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!