Home Toán học Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm trùng phương chứa tham số

Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm trùng phương chứa tham số

by AdminTLH

A. Phương pháp giải Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm trùng phương chứa tham số

Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng  \( d:y=\alpha  \) đồ thị  \( (C):y=f(x,m)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c  \) tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:  \( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c-\alpha =0 \)    (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \) thì (1)  \( \Leftrightarrow a{{t}^{2}}+bt+c-\alpha =0 \) (2)

Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị  \( m\in {{D}_{1}} \).

Cụ thể:

+ Để  \( d\cap (C)=n=4 \) điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow (1) \) có 4 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow (2) \) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa điều kiện:  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in {{D}_{1}} \).

+ Để  \( d\cap (C)=n=3 \) điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow (1) \) có 3 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm t1, t2 thỏa điều kiện:  \( 0={{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c-\alpha =0 \\  & \frac{b}{a}<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in {{D}_{1}} \).

+ Để  \( d\cap (C)=n=2 \) điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow (1) \) có 2 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow (2) \) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương  \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & ac<0   \\   & \left\{\begin{matrix} \Delta =0 \\ S>0  \end{matrix}\right.  \\  \end{align} \right. \Rightarrow m\in {{D}_{1}} \).

+ Để  \( d\cap (C)=n=1 \) điểm  \( \Leftrightarrow (1) \) có đúng 1 nghiệm

 \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm kép = 0 hoặc  \( \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}<0 \\  & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta =0 \\  & c-\alpha =0 \\ \end{align} \right.\vee \) \( \left\{ \begin{align}  & c-\alpha =0 \\  & \frac{b}{a}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow m\in {{D}_{1}} \)

Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1, t2 (3)

Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được  \( m\in {{D}_{2}} \).

Kết luận:  \( m\in {{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \)

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số  \( y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c  \) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Ta có:  \( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0 \) (1), đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \), thì có:  \( a{{t}^{2}}+bt+c=0 \)  (2).

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là:  \( \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là  \( -\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}} \) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

 \( \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}-\left( -\sqrt{{{t}_{2}}} \right) \) \( \Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}=3\sqrt{{{t}_{1}}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}} \).

Theo định lí Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{t}_{1}}=-\frac{b}{10a} \\  & {{t}_{2}}=-\frac{9b}{10a} \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 9a{{b}^{2}}=100{{a}^{2}}c \)

Tóm lại: Hàm số  \( y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c  \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì điều kiện cần và đủ là \(\left\{ \begin{align}  & {{b}^{2}}-4ac>0 \\  & -\frac{b}{a}>0 \\  & \frac{c}{a}>0 \\  & 9a{{b}^{2}}=100{{a}^{2}}c \\ \end{align} \right.\)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3+m=0 \) có 4 nghiệm phân biệt là:

A. \( \left( -1;3 \right) \)

B.  \( \left( -3;1 \right) \)   

C.  \( \left( 2;4 \right) \)             

D.  \( \left( -3;0 \right) \)

Đáp án B.

Ta có: \({{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3+m=0\)\(\Leftrightarrow -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3=m\)

Xét hàm số \(y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3\), khi đó:

\({y}’=-4{{x}^{3}}+8x\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\pm \sqrt{2} \\  & x=0 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra  \( {{y}_{CD}}=1;{{y}_{CT}}=-3 \)

Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì  \( -3<m<1\Rightarrow m\in \left( -3;1 \right) \)

Ví dụ 2. Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi

A. \( -\frac{1}{4}<m<0 \)

B.  \( 0<m<\frac{1}{4} \)

C.  \( m>0 \) 

D.  \( m>-\frac{1}{4} \)

Đáp án A.

Hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) có tập xác định  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x  \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0 \)

Ví dụ 3. Cho hàm số \( f(x)=-4{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình  \( f(x)=m  \) có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. 0

B. 2

C. 3                                   

D. 1.

Đáp án D.

 \( {f}'(x)=-16{{x}^{3}}+16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Phương trình  \( f(x)=m  \) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  \( f(x)=-4{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1 \) (C) và đường thẳng  \( y=m  \).

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m<-1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m để phương trình  \( f(x)=m  \) có đúng hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4. Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của m thì phương trình  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m-4 \) có 2 nghiệm phân biệt.

A. \( \left[ \begin{align} & m<0 \\  & m=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)  

B.  \( m\le \frac{1}{2} \)            

C.  \( 0<m<\frac{1}{2} \)                                         

D.  \( \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Đáp án D.

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m-4 \) có hai nghiệm phân biệt khi

 \( \left[ \begin{align}  & 2m-4=-4 \\  & 2m-4>-3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3+2m=0 \) có 4 nghiệm phân biệt.

A. \( -2\le m\le -\frac{3}{2} \)

B.  \( -\frac{3}{2}<m<2 \)   

C.  \( -2<m<-\frac{3}{2} \)      

D.  \( 3<m<4 \)

Đáp án C.

Ta có:  \( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3+2m=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m  \)

Lập bảng biến thiên của hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \) và đường thẳng  \( y=2m  \).

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 \( -4<2m<-3\Leftrightarrow -2<m<-\frac{3}{2} \)

Ví dụ 6. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+(2m-1)=0 \) có 4 nghiệm thực phân biệt là

A. \( \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \)                    

B.  \( \left( 1;+\infty  \right) \)  

C.  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)                   

D.  \( \mathbb{R} \)

Đáp án A.

Xét phương trình:  \( {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+(2m-1)=0 \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\text{ }\left( t\ge 0 \right) \).

Phương trình đã cho trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt+(2m-1)=0 \) (*)

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-2m+1>0 \\  & 2m>0 \\  & 2m-1>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \forall m\ne 1 \\  & m>0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\frac{1}{2} \\  & m\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

Hay  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \)

Ví dụ 7. Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2 \). Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

A. m = 2

B.  \( m=\frac{3}{2} \)    

C. m = 3                          

D. m = 1

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:  \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=m\) \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2-m=0 \)  (1)

Vì  \( m>0\Leftrightarrow -2-m<0 \) hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

 \( {{x}^{2}}=\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2} \) \( \Rightarrow {{x}_{1}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \) và  \( {{x}_{2}}=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \).

Khi đó: \(A\left( {{x}_{1}};m \right)\), \(B\left( {{x}_{2}};m \right)\).

Ta có tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{m}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}={{m}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{m}^{2}}-3\ge 0 \\  & 4{{m}^{4}}-12{{m}^{2}}-4m-8=0 \\ \end{align} \right. \) \( \underset{2{{m}^{2}}-3\ge 0}{\overset{m>0}{\longleftrightarrow}}m=2 \)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 8. Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là  \( 0,1,m,n  \). Tính  \( S={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \).

A. S = 1

B. S = 0

C. S = 3                           

D. S = 2.

Đáp án C.

Tọa độ các giao điểm lần lượt là A(0;0),  \( B\left( 1;-1 \right) \),  \( C\left( m;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right) \),  \( D\left( n;{{n}^{4}}-2{{n}^{2}} \right) \).

Đường thẳng qua các điểm A, B, C, D có phương trình:  \( y=-x  \).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=-x\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & {{x}^{2}}+x-1=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Vậy m, n là các nghiệm của phương trình (*).

Khi đó:  \( S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( m+n \right)}^{2}}-2mn=3 \)

Ví dụ 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

A. 8

B. 7                                   

C. 5                                   

D. 3

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4=0 \)

Đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1  \( \Leftrightarrow  \) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

 \( \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8x+4=\left( 2-m \right){{x}^{2}} \) \( \Leftrightarrow 2-m={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1) với đường thẳng  \( y=2-m  \) song song với trục hoành.

Xét hàm số  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1)

 \( {y}’=2x-4-\frac{8}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{3}}}=\frac{2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8x-8}{{{x}^{2}}} \).

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1-\sqrt{3}\text{ }(l) \\  & x=1+\sqrt{3}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 0<2-m<9\Leftrightarrow -7<m<2 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -6;-5;….,1 \right\} \)

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

Ví dụ 10. Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m  \) (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng (a;b) (với  \( a,b\in \mathbb{Q} \); a, b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

A. \( -63 \)

B. 63             

C. 95                  

D.  \( -95 \)

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m=-3 \). Đặt  \( {{x}^{2}}=t,t\ge 0 \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}+2mt+m+3=0 \) (1) và đặt  \( f(t)={{t}^{2}}+2mt+m+3 \).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) và khi đó hoành độ bốn giao điểm là  \( -\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}} \).

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & \sqrt{{{t}_{1}}}<1 \\  &\sqrt{{{t}_{2}}}>2 \\ \end{align} \right. \) hay  \( 0<{{t}_{1}}<1<4<{{t}_{2}} \).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( \left\{ \begin{align}  & f(0)>0 \\  & f(1)<0 \\  & f(4)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m+3>0 \\  & 3m+4<0 \\  & 9m+19<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -3<m<-\frac{19}{9} \)

Vậy  \( \left\{ \begin{align}  & a=-3 \\  & b=-\frac{19}{9} \\ \end{align} \right. \) nên  \( 15ab=95 \).

Ví dụ 11. Đường thẳng \( y={{m}^{2}} \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10 \) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \( {{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right) \)

B.  \( {{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right) \)

C.  \( {{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right) \)       

D.  \( {{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right) \)

Đáp án C.

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x=2x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng  \( y={{m}^{2}}\ge 0 \) luôn phía trên trục hoành nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi \( A\left( \sqrt{a};{{m}^{2}} \right)\) và  \( B\left( -\sqrt{a};{{m}^{2}} \right) \) là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a > 0.

Ta có:

+  \( A\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a-10={{m}^{2}} \) (1)

+ Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{m}^{4}}=a  \) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{m}^{8}}-{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-10=0\Leftrightarrow {{t}^{4}}-{{t}^{2}}-t-10=0 \) với  \( t={{m}^{2}}>0 \).

 \( \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+3t+5 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\in \left( 1;3 \right) \)

Ví dụ 12. Tất cả các giá trị thực của tham số m, để đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2 \) không cắt trục hoành.

A. \( m\ge \sqrt{3}+1 \)

B.  \( m<3 \)                     

C.  \( m>\sqrt{3}+1 \)     

D.  \( m>3 \)

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)     (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \). Phương trình (1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2\left( 2-m \right)t+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)    (2)

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành  \( \Leftrightarrow (1) \) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow (2) \) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

Hay \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {\Delta }’=-2m+6<0 \\ & \left\{\begin{matrix} {\Delta }’=-2m+6\ge 0 \\  2-m<0 \\  {{m}^{2}}-2m-2>0 \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>3 \\ & \left\{\begin{matrix} m\le 3 \\  m>2 \\  m>1+\sqrt{3} \vee m<1-\sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>3 \\  & 1+\sqrt{3}<m\le 3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>1+\sqrt{3} \)

Ví dụ 13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=\left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5 \) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \) thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \).

A. \(m\in \left( -1;-\frac{5}{6} \right)\)

B. \(m\in \left( -3;-1 \right)\)

C. \(m\in \left( -3;1 \right)\)  

D. \(m\in \left( -4;-1 \right)\)

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

 \( \left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5=0 \)  (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \) phương trình trở thành:  \( \left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5=0 \)  (2)

Cách 1:

 \( g(t)=\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5 \)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay  \( \left\{ \begin{align}  & m+1\ne 0 \\  & {\Delta }’>0 \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\  & \frac{6m+5}{m+1}>0 \\  & \frac{2m-3}{m+1}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & \frac{-23-\sqrt{561}}{4}<m<\frac{-23+\sqrt{561}}{4} \\  & m<-1\vee m>-\frac{5}{6} \\  & m<-1\vee m>\frac{3}{2} \\ \end{align} \right. \)   (*)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}-1<0 \\  & {{t}_{2}}-1>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0 \) \( \Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{6m+5}{m+1}-\frac{2\left( 2m-3 \right)}{m+1}+1<0 \) \( \Leftrightarrow \frac{3m+12}{m+1}<0\Leftrightarrow -4<m<-1 \)

Kết hợp với (*) ta có:  \( m\in \left( -4;-1 \right) \) thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

Phương trình (2)  \( \Leftrightarrow m=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) (biểu thức  \( v \))

Xét hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) với  \( t\in \left( 0;+\infty  \right) \).

Ta có f(t) liên tục trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và có  \( {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}} \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{1-\sqrt{561}}{10}<0 \\  & t=\frac{1+\sqrt{561}}{10}>1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) tại hai giao điểm có hoành độ thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \) khi  \( -4<m<-1 \).

Ví dụ 14. Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m  \) có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

A. \( -\frac{1}{3}<m<1 \) và \( m\ne 0 \)                

B.  \( -\frac{1}{2}<m<1 \) và m\ne 0           

C.  \( -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)                           

D.  \( -\frac{1}{3}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d là  \( {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m=-1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m+1=0 \)

Đặt  \( t={{x}^{2}},\text{ }t\ge 0 \).

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-\left( 3m+2 \right)t+3m+1=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1 \\  & t=3m+1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}<4 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3m+1\ne 1 \\  & 0<3m+1<4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & -\frac{1}{3}<m<1 \\ \end{align} \right. \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!