Home Toán học Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến chứa tham số

Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến chứa tham số

by AdminTLH

A. Phương pháp giải Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến chứa tham số

Bài toán tổng quát

Cho hàm số  \( y=\frac{ax+b}{cx+d} \) có đồ thị (C). Tìm tham số m để đường thẳng  \( d:y=\alpha x+\beta  \) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K?

Phương pháp giải:

Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)

Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):  \( \frac{ax+b}{cx+d}=\alpha x+\beta  \)

 \( \Leftrightarrow g(x)=\alpha c{{x}^{2}}+\left( \beta c+\alpha d-a \right)x+\beta d-b=0,\forall x\ne -\frac{d}{c} \)

+ Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow g(x)=0 \) có nghiệm phân biệt phân biệt khác  \( -\frac{d}{c} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c\alpha \ne 0;\Delta >0 \\  & g\left( -\frac{d}{c} \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

Giải hệ này, ta sẽ tìm được  \( m\in {{D}_{1}} \)    (1)

+ Gọi  \( A\left( {{x}_{1}};\alpha {{x}_{1}}+\beta  \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};\alpha {{x}_{2}}+\beta  \right) \) với x1, x2 là 2 nghiệm của g(x) = 0.

Theo Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{\beta c+\alpha d-a}{c\alpha } \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{\beta d-b}{\alpha c} \\ \end{align} \right. \)     (2)

Bước 2.

+ Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x1, x2 (3)

+ Thế (2) vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số m. Giải nó sẽ tìm được  \( m\in {{D}_{2}} \) (*)

Từ (1) và (*) suy ra: \(m\in \left( {{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \right)\) và kết luận giá trị m cần tìm.

Một số công thức tính nhanh “thường gặp” liên quan đến tương giao giữa đường thẳng  \( y=kx+p  \) và đồ thị hàm số  \( y=\frac{ax+b}{cx+d} \).

Giả sử d:  \( y=kx+p  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{ax+b}{cx+d} \) tại 2 điểm phân biệt M, N.

Với  \( kx+p=\frac{ax+b}{cx+d} \) cho ta phương trình có dạng:  \(  A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \) thỏa điều kiện  \( cx+d\ne 0 \), có  \( \Delta ={{B}^{2}}-4AC  \).

Khi đó:

1)  \( M\left( {{x}_{1}};k{{x}_{1}}+p \right) \),  \( N\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+p \right) \) \( \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};k({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) \right) \) \( \Rightarrow MN=\sqrt{({{k}^{2}}+1)\frac{\Delta }{{{A}^{2}}}} \)

Chú ý: khi MNmin thì tồn tại  \( \min \left( \Delta ,k \right)=const  \).

2)  \( O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}=\left( {{k}^{2}}+1 \right)\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).2kp+2{{p}^{2}} \)

3)  \( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right)\left( 1+{{k}^{2}} \right)+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)kp+{{p}^{2}} \)

4)  \( OM=ON\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( 1+{{k}^{2}} \right)+2kp=0 \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \( \left[ -2020;2020 \right] \) của tham số m để đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt?

A. 4036

B. 4040                            

C. 4038                            

D. 4034

Đáp án A.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng  \( y=x+m  \) và đường cong  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \)

 \( x+m=\frac{2x-3}{x-1}\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( x-1 \right)=2x-3 \left( x\ne 1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx-x-m=2x-3 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-m+3=0 \) (*)

Ta có:

 \( \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4\left( -m+3 \right) \) \( ={{m}^{2}}-6m+9+4m-12={{m}^{2}}-2m-3 \)

Để đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & {{1}^{2}}+(m-3).1-m+3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-2m-3>0 \\  & 1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \).

Theo giả thiết:  \( -2020\le m\le 2020 \) và  \( \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \) nên \( \left[ \begin{align}  & -2020\le m<-1 \\  & 3<m\le 2020 \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( -2020\le m<-1 \), suy ra có:  \( -2-\left( -2020 \right)+1=2019 \) giá trị nguyên m.

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( 3<m\le 2020 \), suy ra có:  \( 2020-4+1=2017 \) giá trị nguyên m.

Tóm lại có tất cả  \( 2019 + 2017 = 4036 \) giá trị nguyên của tham số m.

Ví dụ 2. Đường thẳng \( y=x+2m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{x-3}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

A. \( \left[ \begin{align} & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \)                 

B.  \( \left[ \begin{align} & m\le -1 \\  & m\ge 3 \\ \end{align} \right. \)                       

C.  \( \left[ \begin{align}  & m<-3 \\  & m>1 \\ \end{align} \right. \)                          

D.  \( -3<m<1 \)

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho

 \( \frac{x-3}{x+1}=x+2m  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left( x+2m \right)\left( x+1 \right)=x-3 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+2m+3=0 \) (*) (vì khi  \( x=-1 \) thì phương trình trở thành  \( 0=-4 \) vô lí).

Để đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó m phải thỏa mãn  \( {{{\Delta }’}_{(*)}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\ & m>3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là:  \( \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \).

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \( y=2x+m  \) cắt đồ thị của hàm số  \( y=\frac{x+3}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt.

A. \(m\in \left( -\infty ;+\infty \right)\)

B. \(m\in \left( -1;+\infty  \right)\)             

C. \(m\in \left( -2;4 \right)\)                         

D. \(m\in \left( -\infty ;-2 \right)\)

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{x+3}{x+1}=2x+m  \)  (*), với điều kiện xác định  \( x\ne -1 \).

Biến đổi (*) về thành:  \( 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0 \) (**).

Theo yêu cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác  \( -1 \), tức là:

\( \left\{ \begin{align}  & \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4.3.\left( m-3 \right)>0 \\ & 2.{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( m+1 \right).\left( -1 \right)+m-3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-6m+25>0 \\  & -2\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;+\infty  \right) \)

Ví dụ 4. Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \( y=\frac{x}{x-2} \). Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

A. \( 4\sqrt{2} \)

B.  \( 2\sqrt{2} \)                       

C. 4                                  

D.  \( 3\sqrt{2} \)

Đáp án C.

Hàm số  \( y=\frac{x}{x-2} \) có đồ thị (C) như hình vẽ.

Gọi  \( A\left( a;\frac{a}{a-2} \right) \) và  \( B\left( b;\frac{b}{b-2} \right) \) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C)  \( \left( a < 2 < b \right) \)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( b-a;\frac{b}{b-2}-\frac{a}{a-2} \right)=\left( b-a;\frac{b-a}{(b-2)(2-a)} \right) \).

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có:  \( \left( b-2 \right)\left( 2-a \right)\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{4} \).

Suy ra:  \( A{{B}^{2}}={{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( b-2 \right)\left( 2-a \right) \right]}^{2}}}\ge {{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{64}{{{\left( b-a \right)}^{2}}}\ge 16 \)

 \( \Rightarrow AB\ge 4 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( a=2-\sqrt{2} \) và  \( b=2+\sqrt{2} \)

Vậy  \( A{{B}_{\min }}=4 \).

Ví dụ 5. Cho hàm số \( y=\frac{x}{x-1} \) (C) và đường thẳng  \( d:y=-x+m  \). Gọi S là tập các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng  \( 2\sqrt{2} \). Tổng các phần tử của S bằng

A. 4

B. 3                                   

C. 0                                   

D. 8

Đáp án A.

Xét phương trình  \( \frac{x}{x-1}=-x+m  \), (điều kiện  \( x\ne 1 \)).

Phương trình tương đương  \( {{x}^{2}}-mx+m=0 \) (1).

Đồ thị (C) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \( x\ne 1 \) điều kiện cần và đủ là  \( m<0\vee m>4 \).

Khi đó, hai giao điểm là  \( A\left( {{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m \right) \);  \( B\left( {{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m \right) \).

Ta có:  \( OA=\sqrt{{{m}^{2}}-2m} \);  \( OB=\sqrt{{{m}^{2}}-2m} \);  \( AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)} \);  \( {{d}_{\left( O,d \right)}}=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}} \).

 \( {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}.AB.{{d}_{\left( O,d \right)}}=\frac{1}{2}.\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}=\frac{OA.OB.AB}{4R} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}=\frac{\left( {{m}^{2}}-2m \right).\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}}{4.2\sqrt{2}} \)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m=4\left| m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0\text{ }(l) \\  & m=6\text{ }(n) \\  & m=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\)

Vậy tổng các phần tử của S bằng 4.

Ví dụ 6. Đồ thị hàm số \( y=\frac{2x-1}{1-x} \) (C) và đường thẳng  \( d:y=x+m  \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

A. \( m>-1 \)

B.  \( -5<m<-1 \)             

C.  \( m<-5 \)                   

D.  \( m<-5\vee m>-1 \)

Đáp án D.

Hàm số  \( y=\frac{2x-1}{1-x} \) có tập xác định  \( D=\mathbb{R}\backslash \{1\} \).

Lập phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{1-x}=x+m  \)  \( \left( x\ne 1 \right) \).

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2x-1=x+m-{{x}^{2}}-mx \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-\left( m+1 \right)=0\text{ }(*) \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  \( x\ne 1 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & {{1}^{2}}+(m+1)-(m+1)\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}+6m+5>0 \\  & 1\ne 0\text{ }(t/m) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<-5\vee m>-1\)

Ví dụ 7. Cho hàm số \( y=\frac{x+3}{x+1} \) có đồ thị (C) và đường thẳng  \( d:y=x-m  \), với m là tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm  \( G\left( 2;-2 \right) \) là trọng tâm của tam giác OAB (O là gốc tọa độ). Giá trị của m bằng

A. 6

B. 3                                   

C.  \( -9 \)                          

D. 5

Đáp án A.

Hàm số  \( y=\frac{x+3}{x+1} \) có  \( {y}’=-\frac{2}{{{(x+1)}^{2}}}<0,\forall x\in D  \) và đường thẳng  \( d:y=x-m  \) có hệ số  \( a=1>0 \) nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt  \( A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \) và  \( B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right) \) với mọi giá trị của tham số m.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:  \( \frac{x+3}{x+1}=x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-m-3=0 \)  \( \left( x\ne -1 \right) \)

Suy ra, xA, xB là 2 nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}-mx-m-3=0 \).

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=m  \).

Mặt khác,  \( G\left( 2;-2 \right) \) là trọng tâm của tam giác OAB nên  \( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{O}}=3{{x}_{G}} \).

 \( \Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=6\Leftrightarrow m=6 \)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8. Cho hàm số \( y=\frac{3x-2m}{mx+1} \) với m là tham số. Biết rằng với mọi  \( m\ne 0 \), đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng  \( d:y=3x-3m  \) tại hai điểm phân biệt A, B. Tích tất cả các giá trị của m tìm được để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích  \( \Delta OAB  \) bằng 2 lần diện tích  \( \Delta OCD  \) bằng

A. \( -\frac{4}{9} \)                                           

B.  \( -4 \)           

C.  \( -1 \)           

D. 0

Đáp án A.

Với  \( m\ne 0 \), xét phương trình  \( \frac{3x-2m}{mx+1}=3x-3m\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx-1=0 \) (*)

Gọi tọa độ các giao điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là:  \( A\left( {{x}_{1}};3{{x}_{1}}-3m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};3{{x}_{2}}-3m \right) \).

Tọa độ các điểm C, D là  \( C\left( m;0 \right) \) và  \( D\left( 0;-3m \right) \).

Gọi  \( h={{d}_{\left( O,d \right)}} \) thì h là chiều cao của các tam giác OAB và OCD.

Theo giả thiết:  \( {{S}_{\Delta OAB}}=2{{S}_{\Delta OCD}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.h=2.\frac{1}{2}.CD.h  \)

 \( \Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4C{{D}^{2}} \) \( {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ 3\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]}^{2}}=4\left[ {{m}^{2}}+{{(-3m)}^{2}} \right] \)

 \( \Leftrightarrow 10{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=40{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+\frac{4}{3}=4{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm \frac{2}{3} \)

Vậy tích các giá trị của m là  \( -\frac{4}{9} \).

Ví dụ 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng \( y=-3x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x+1}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB (O là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng  \( x-2y-2=0 \)?

A. 2

B. 1

C. 0                                   

D. 3

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( -3x+m=\frac{2x+1}{x-1} \)   (*)

Với điều kiện  \( x\ne 1 \),  \( (*)\Rightarrow 3{{x}^{2}}-(m+1)x+m+1=0 \) (1)

Đường thẳng \(y=-3x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, điều kiện:

 \( \left\{ \begin{align}  & {{(m+1)}^{2}}-12(m+1)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-(m+1).1+m+1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-10m-11>0 \\  & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)  (**)

Không mất tính tổng quát, giả sử  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình (1).

Theo viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi M là trung điểm AB, ta có:  \( M\left( \frac{m+1}{6};\frac{m-1}{2} \right) \).

Giả sử G(x;y) là trọng tâm tam giác OAB, ta có:

\(\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{3}.\frac{m+1}{6} \\  & y=\frac{2}{3}.\frac{m-1}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{m+1}{9} \\  & y=\frac{m-1}{3} \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \).

Mặt khác, điểm G thuộc đường thẳng  \( x-2y-2=0 \) nên ta có:  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow m=-\frac{11}{5} \) (thỏa mãn (**))

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10. Giả sử \( m=-\frac{b}{a},\text{ }a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\text{ }\left( a,b \right)=1 \) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng  \( d:y=-3x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x+1}{x-1} \) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng  \( \Delta :x-2y-2=0 \), với O là gốc tọa độ. Tính  \( a+2b  \).

A. 2

B. 5

C. 11                                

D. 21

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x-1}=-3x+m,\text{ }x\ne 1 \)

 \( \Rightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m+1=0 \) (*)

Để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-12\left( m+1 \right)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-\left( m+1 \right).1+\left( m+1 \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & m+1<0 \\  & m+1>12 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) đồng thời thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi G là trọng tâm của  \( \Delta OAB  \), ta có:  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \)

Mà  \( G\in \Delta  \) nên  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5} \).

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & a=11 \\  & b=5 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( a+2b=21 \).

Ví dụ 11. Cho hàm số \( y=\frac{3x+2}{x+2} \) (C) và đường thẳng  \( d:y=ax+2b-4 \). Đường thẳng d cắt (C) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó  \( T=a+b  \) bằng

A. T = 2

B. \( T=\frac{5}{2} \)     

C. T = 4                           

D.  \( T=\frac{7}{2} \)

Đáp án D.

Xét phương trình hoành độ:  \( \frac{3x+2}{x+2}=ax+2b-4,\text{ }x\ne -2 \)

 \( \Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( 2a+2b-7 \right)x-10=0 \) (*)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & {{\left( 2a+2b-7 \right)}^{2}}-4a\left( 4b-10 \right)>0 \\  & 4\ne 0 \\ \end{align} \right. \) (**)

Gọi  \( A\left( {{x}_{1}};a{{x}_{1}}+2b-4 \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};a{{x}_{2}}+2b-4 \right) \).

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & 4b-8=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \)

Theo Viet của phương trình (*), ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{7-2a-2b}{a}\Rightarrow \frac{7-2a-2b}{a}=0 \)

 \( \Leftrightarrow 7-2a-2b=0\Rightarrow a=\frac{3}{2} \)

Thay  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{3}{2} \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \) vào điều kiện (**) thấy thỏa mãn.

Vậy  \( a+b=\frac{7}{2} \).

Ví dụ 12. Cho hàm số \( y=\frac{2x}{x-1} \) có đồ thị là (C). Tìm tập hợp tất cả các giá trị  \( a\in \mathbb{R} \) để qua điểm  \( M\left( 0;a \right) \) có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M.

A. \( \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right) \)                                    

B.  \( \left( 3;+\infty  \right) \)  

C.  \( \left( -\infty ;0 \right) \)                                     

D.  \( \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 3;+\infty  \right) \)

Đáp án A.

Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M(0;a) có dạng  \( y=kx+a  \).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng  \( y=kx+a  \) là:

 \( \frac{2x}{x-1}=kx+a\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & 2x=k{{x}^{2}}-kx+ax-a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & k{{x}^{2}}+\left( a-k-2 \right)x-a=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Ta cần tìm điều kiện của a để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 và thỏa mãn  \( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \)

Điều kiện này tương đương với  \( \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & k{{.1}^{2}}+\left( a-k-2 \right).1-a\ne 0 \\  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & -2\ne 0 \\  & \frac{k+2-a}{k}=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & k\ne 0 \\ & k=a-2 \\ & 4\left( a-2 \right)a>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-2\ne 0 \\  & k=a-2 \\ & a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\)

Ví dụ 13. Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho  \( MN\le 10 \).

A. 2

B. 3

C. 1                                   

D. 4

Đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số:  \( x\ne -1 \)

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{x+1}=x+m  \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m-3>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<3-2\sqrt{3} \\ & m>3+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) (*)

Gọi  \( M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \),  \( N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \) là tọa độ giao điểm đường thẳng  \( y=x+m  \) và đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \).

Theo bài cho  \( MN\le 10\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\le 10 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50 \)

Áp dụng định lí Viet cho phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có: \(MN\le 10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-53\le 0\Leftrightarrow 3-\sqrt{62}\le m\le 3+\sqrt{62}\)

Kết hợp với (*) thì  \( m\in \left( 3-\sqrt{62};3-2\sqrt{3} \right)\cup \left( 3+2\sqrt{3};3+\sqrt{62} \right) \)

Mà  \( m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\xrightarrow{{}}m\in \left\{ 7;8;9;10 \right\} \)

Ví dụ 14. Cho đồ thị hàm số \( y=\frac{2x+1}{x+1} \). Tìm k để đường thẳng  \( d:y=kx+2k+1 \) cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành.

A. 1

B. \( \frac{2}{5} \)           

C.  \( -3 \)                          

D.  \( -2 \)

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x+1}=kx+2k+1 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne -1 \\  & k{{x}^{2}}+\left( 3k-1 \right)x+2k=0\text{  }(1) \\ \end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán tương dương có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho  \( \left| k{{x}_{1}}+2k+1 \right|=\left| k{{x}_{2}}+2k+1 \right| \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & \Delta ={{k}^{2}}-6k+1>0 \\  & k\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4k+2=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{k}^{2}}-6k+1>0 \\  & 1-3k+4k+2=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow k=-3 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!