Home Toán học Bài toán Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bài toán Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Các công thức thường gặp:

\(\int{f(x)dx}=F(x)+C\Rightarrow {F}'(x)=f(x)\)

\(\int{{f}'(x)dx}=f(x)+C\)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{x-2} \), biết \( F(1)=2 \). Giá trị của  \( F(0) \) bằng

A. \( 2+\ln 2 \)

B.  \( \ln 2 \)                      

C.  \( 2+\ln (-2) \)            

D.  \( \ln (-2) \)

Đáp án A.     

Ta có:

 \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}=\ln \left| x-2 \right|+C,\text{ }C\in \mathbb{R} \).

Giả sử  \( F(x)=\ln \left| x-2 \right|+{{C}_{0}} \) là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F(1) = 2.

Do  \( F(1)=2\Rightarrow {{C}_{0}}=2\Rightarrow F(x)=\ln \left| x-2 \right|+2 \)

Vậy  \( F(0)=2+\ln 2 \)

Ví dụ 2. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm \( f(x)=\frac{1}{2x+1} \); biết \( F(0)=2 \). Tính  \( F(1) \).

A. \( F(1)=\frac{1}{2}\ln 3-2 \)

B.  \( F(1)=\ln 3+2 \)  

C.  \( F(1)=2\ln 3-2 \)               

D.  \( F(1)=\frac{1}{2}\ln 3+2 \)

Đáp án D.

Ta có:

 \( F(x)=\int{\frac{1}{2x+1}dx}=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|+C  \)

Do  \( F(0)=2\Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| 2.0+1 \right|+C=2\Rightarrow C=2 \)

Vậy  \( F(x)=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|+2\Rightarrow F(1)=\frac{1}{2}\ln 3+2 \)

Ví dụ 3. (THPTQG – 2017 – 105) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{e}^{x}}+2x \) thỏa mãn  \( F(0)=\frac{3}{2} \). Tìm F(x).

A. \(F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\)

B. \(F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{5}{2}\)

C. \(F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{3}{2}\)

D. \(F(x)=2{{e}^{x}}+{{x}^{2}}-\frac{1}{2}\)

Đáp án A.

Ta có:  \( F(x)=\int{\left( {{e}^{x}}+2x \right)dx}={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C  \)

Theo bài ra, ta có:  \( F(0)=1+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\)

Ví dụ 4. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{e}^{2x}} \) và  \( F(0)=0 \). Giá trị của  \( F\left( \ln 3 \right) \)  bằng

A. 2

B. 6

C. 8                            

D. 4

Đáp án D.

\(F(x)=\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+C\);

\(F(0)=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\)

Khi đó:  \( F\left( \ln 3 \right)=\frac{1}{2}{{e}^{2\ln 3}}-\frac{1}{2}=4 \)

Ví dụ 5. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( {{e}^{2x}} \) và \( F\left( 0 \right)=\frac{201}{2} \). Giá trị  \( F\left( \frac{1}{2} \right) \) là

A. \( \frac{1}{2}e+200 \)

B.  \( 2e+100 \)                

C.  \( \frac{1}{2}e+50 \)          

D.  \( \frac{1}{2}e+100 \)

Đáp án D.

Ta có:  \( \int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+C  \)

Theo đề ra, ta được:  \( F(0)=\frac{201}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.{{e}^{0}}+C=\frac{201}{2}\Leftrightarrow C=100 \)

Vậy  \( F(x)=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+100 \)

 \( \Rightarrow F\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}{{e}^{2.\frac{1}{2}}}+100=\frac{1}{2}e+100 \)

Ví dụ 6. Cho hàm số \( f(x)=2x+{{e}^{x}} \). Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2019.

A. \( F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+2018 \)

B.  \( F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}-2018 \)              

C.  \( F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+2017 \)                    

D.  \( F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}-2019 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\left( 2x+{{e}^{x}} \right)dx}={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+C  \)

Có F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(0) = 2019.

Suy ra  \( \left\{ \begin{align} & F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+C \\  & F(0)=2019 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow 1+C=2019\Leftrightarrow C=2018 \)

Vậy  \( F(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+2018 \).

Ví dụ 7. (THPTQG – 2017 – 104) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \( f(x)=\sin x+\cos x \) thỏa mãn  \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=2 \).

A. \( F(x)=-\cos x+\sin x+3 \)

B.  \( F(x)=-\cos x+\sin x-1 \)

C. \( F(x)=-\cos x+\sin x+1 \)

D.  \( F(x)=\cos x-\sin x+3 \)

Đáp án C.

Có  \( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\left( \sin x+\cos x \right)dx}=-\cos x+\sin x+C  \)

Do  \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+C=2 \) \( \Leftrightarrow 1+C=2\Leftrightarrow C=1 \)

 \( \Rightarrow F(x)=-\cos x+\sin x+1 \)

Ví dụ 8. (THPTQG – 2017 – 123) Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {f}'(x)=3-5\sin x \) và  \( f(0)=10 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( f(x)=3x-5\cos x+15 \)

B.  \( f(x)=3x-5\cos x+2 \)             

C.  \( f(x)=3x+5\cos x+5 \)                         

D.  \( f(x)=3x+5\cos x+2 \)

Đáp án C.

Ta có:  \( f(x)=\int{\left( 3-5\sin x \right)dx}=3x+5\cos x+C  \)

Theo giả thiết f(0) = 10 nên  \( 5+C=10\Rightarrow C=5 \)

Vậy  \( f(x)=3x+5\cos x+5 \)

Ví dụ 9. Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {f}'(x)=2-5\sin x \) và  \( f(0)=10 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( f(x)=2x+5\cos x+3 \)

B.  \( f(x)=2x-5\cos x+15 \)             

C.  \( f(x)=2x+5\cos x+5 \)                         

D.  \( f(x)=2x-5\cos x+10 \)

Đáp án C.

Ta có:  \( f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{\left( 2-5\sin x \right)dx}=2x+5\cos x+C  \)

Mà  \( f(0)=10 \) nên  \( 5+C=10\Rightarrow C=5 \)

Vậy  \( f(x)=2x+5\cos x+5 \)

Ví dụ 10. (Đề Tham Khảo – 2018) Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{2}{2x-1} \),  \( f(0=1) \),  \( f(1)=2 \). Giá trị của biểu thức  \( f(-1)+f(3) \) bằng

A. \( 2+\ln 5 \)

B.  \( 3+\ln 5 \)             

C.  \( 3 + \ln 15 \)                   

D.  \( 4+\ln 15 \)

Đáp án C.

 \( \int{\frac{2}{2x-1}dx}=\ln \left| 2x-1 \right|+C=f(x) \)

Với  \( x<\frac{1}{2},f(0)=1\Rightarrow C=1 \) nên  \( f(-1)=1+\ln 3 \)

Với  \( x>\frac{1}{2},f(1)=2\Rightarrow C=2 \) nên  \( f(3)=2+\ln 5 \).

Nên  \( f(-1)+f(3)=3+\ln 15 \)

Ví dụ 11. Cho F(x) là một nguyên hàm của \( f(x)=\frac{1}{x-1} \) trên khoảng \( \left( 1;+\infty  \right) \) thỏa mãn  \( F\left( e+1 \right)=4 \). Tìm  \( F(x) \).

A. \( 2\ln (x-1)+2 \)

B.  \( \ln (x-1)+3 \)           

C.  \( 4\ln (x-1) \)              

D. \(\ln (x-1)-3\)

Đáp án B.

 \( F(x)=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-1 \right|+C  \)

 \( F(e+1)=4 \).

Ta có:  \( 1+C=4\Rightarrow C=3 \)

Ví dụ 12. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( y=\frac{1}{x} \) trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) thỏa mãn  \( F(-2)=0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

B. \( F(x)=\ln \left| x \right|+C,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

C. \( F(x)=\ln \left| x \right|+\ln 2,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

D. \( F(x)=\ln (-x)+C,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

Đáp án A.

Ta có:  \( F(x)=\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C=\ln (-x)+C  \) với  \( \forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \).

Lại có  \( F(-2)=0\Leftrightarrow \ln 2+C=0\Leftrightarrow C=-\ln 2 \)

Do đó:  \( F(x)=\ln (-x)-\ln 2=\ln \left( -\frac{x}{2} \right) \)

Vậy  \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

Ví dụ 13. Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{1}{x-1} \),  \( f(0)=2017 \),  \( f(2)=2018 \). Tính  \( S=f(3)-f(-1) \).

A. \( S=\ln 4035 \)

B.  \( S=4 \)                   

C.  \( S=\ln 2 \)                

D.  \( S=1 \)

Đáp án D.

Trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\) ta có \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left( x-1 \right)+{{C}_{1}}\)\(\Rightarrow f(x)=\ln (x-1)+{{C}_{1}}\)

Mà  \( f(2)=2018\Rightarrow {{C}_{1}}=2018 \)

Trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right) \), ta có:  \( \int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \) \( \Rightarrow f(x)=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \)

Mà  \( f(0)=2017\Rightarrow {{C}_{2}}=2017 \)

Vậy  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \ln (x-1)+2018\text{   }khi\text{ }x>1 \\  & \ln (1-x)+2017\text{   }khi\text{ }x<1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow f(3)-f(-1)=1 \)

Ví dụ 14. Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và \({f}'(x)=2{{e}^{2x}}+1,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\), f(0) = 2. Hàm f(x) là

A. \( y=2{{e}^{x}}+2x \)                           

B.  \( y=2{{e}^{x}}+2 \)             

C.  \( y={{e}^{2x}}+x+2 \)                      

D.  \( y={{e}^{2x}}+x+1 \)

Đáp án D.

Ta có: \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\left( 2{{e}^{2x}}+1 \right)dx}={{e}^{2x}}+x+C\)

Suy ra  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+C  \)

Theo bài ra ta có:  \( f(0)=2\Rightarrow 1+C=2\Leftrightarrow C=1 \)

Vậy  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+1 \)

Ví dụ 15. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{2}^{x}} \), thỏa mãn \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \). Tính giá trị biểu thức  \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \)

A. \( T=1009.\frac{{{2}^{2019}}+1}{\ln 2} \)

B.  \( T={{2}^{2019.2020}} \)                                   

C.  \( T=\frac{{{2}^{2019}}-1}{\ln 2} \)                       

D.  \( T=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

Đáp án D.

Ta có: \(\int{f(x)dx}=\int{{{2}^{x}}dx}=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x)={{2}^{x}} \), ta có:  \( F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C  \) mà  \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \)

 \( \Rightarrow C=0\Rightarrow F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \).

 \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \) \( =\frac{1}{\ln 2}\left( 1+2+{{2}^{2}}+…+{{2}^{2018}}+{{2}^{2019}} \right) \) \( =\frac{1}{\ln 2}.\frac{{{2}^{2020}}-1}{2-1}=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

Ví dụ 16. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm \( f(x)=\cos 3x  \) và  \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3} \). Tính  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right) \).

A. \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+2}{6} \)

B.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{6} \) 

C.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)                                 

D.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-6}{6} \)

Đáp án C.

 \( F(x)=\int{\cos 3xdx}=\frac{\sin 3x}{3}+C  \)

 \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3}\Rightarrow C=1 \) \( \Rightarrow F(x)=\frac{\sin 3x}{3}+1 \)

 \( \Rightarrow F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{3}+1=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)

Ví dụ 17. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \). Biết \( F\left( \frac{\pi }{4}+k\pi  \right)=k,\text{ }\forall k\in \mathbb{Z} \). Tính  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \).

A. 55

B. 44

C. 45                          

D. 0

Đáp án B.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C  \)

Suy ra: \(F(x)=\left\{ \begin{align}  & \tan x+{{C}_{0}},x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{1}},x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{2}},x\in \left( \frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2} \right) \\  & … \\  & \tan x+{{C}_{9}},x\in \left( \frac{17\pi }{2};\frac{19\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{10}},x\in \left( \frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & F\left( \frac{\pi }{4}+0\pi  \right)=1+{{C}_{0}}=0\Rightarrow {{C}_{0}}=-1 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+\pi  \right)=1+{{C}_{1}}=1\Rightarrow {{C}_{0}}=0 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+2\pi  \right)=1+{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{0}}=1 \\  & … \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+9\pi  \right)=1+{{C}_{9}}=9\Rightarrow {{C}_{9}}=8 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+10\pi  \right)=1+{{C}_{10}}=10\Rightarrow {{C}_{10}}=9 \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \) \( =\tan 0-1+\tan \pi +\tan 2\pi +1+…+\tan 10\pi +9=44 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!