Home Toán học Bài 1.2 – Bài tập về công thức Lũy thừa

Bài 1.2 – Bài tập về công thức Lũy thừa

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về Lũy Thừa

1. Công thức của lũy thừa quan trọng

+ Với \( a\ne 0,b\ne 0 \) và \( m,n\in \mathbb{Z} \), ta có:

  •  \( {{a}^{0}}=1 \)
  •  \( {{a}^{1}}=a \)
  • \( {{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}} \)
  •  \( \frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}} \)
  •  \( {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}} \)
  •  \( {{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}.{{b}^{m}} \)
  •  \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}=\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}} \)
  •  \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-m}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{m}} \)
  •  \( {{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\text{ }\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) \)
  •  \( {{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\text{ }\left( a>0,m\in \mathbb{Z},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) \)

+ Với a > 1 thì \( {{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m>n \); Với \( 0< a <1 \) thì \( {{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m < n \).

+ Với mọi \( 0 < a < b \), ta có: \( {{a}^{m}}<{{b}^{m}}\Leftrightarrow m>0 \); \( {{a}^{m}}>{{b}^{m}}\Leftrightarrow m<0 \)

2. Công thức của căn bậc n quan trọng

+ Với \( a,b\in \mathbb{R};n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \), ta có:

  •  \( \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& -a\text{ }khi\text{ }a<0 \\ & a\text{ }khi\text{ }a\ge 0 \\ \end{align} \right. \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a \)
  •  \( \sqrt[2n]{ab}=\sqrt[2n]{\left| a \right|}.\sqrt[2n]{\left| b \right|},\forall ab\ge 0 \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{ab}=\sqrt[2n+1]{a}.\sqrt[2n+1]{b},\forall a,b \)
  •  \( \sqrt[2n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n]{\left| a \right|}}{\sqrt[2n]{\left| b \right|}},\forall ab\ge 0,b\ne 0 \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n+1]{a}}{\sqrt[2n+1]{b}},\forall a,\forall b\ne 0 \)

+ Với \( a,b\in \mathbb{R} \), ta có:

  •  \( \sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}},\forall a>0 \), n nguyên dương, m nguyên.
  •  \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m.n]{a},\forall a\ge 0 \), n, m nguyên dương
  • Nếu \( \frac{p}{n}=\frac{q}{m} \) thì \( \sqrt[n]{{{a}^{p}}}=\sqrt[m]{{{a}^{q}}},\forall a>0 \); m, n nguyên dương; p,q nguyên
  • Đặc biệt: \( \sqrt[n]{a}=\sqrt[m.n]{{{a}^{m}}} \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Sử dụng công thức và tính chất của lũy thừa

Ví dụ 1. Cho hai số a, b không âm, hai số nguyên dương m, n. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A. \( \sqrt[n]{{{a}^{m}}}=\sqrt[m]{{{a}^{n}}} \)

B. \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m.n]{a} \)

C. \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} \)                     

D. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) ( \( b>0 \))

Ví dụ 2. Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. \( {{x}^{m}}.{{x}^{n}}={{x}^{m+n}} \)

B. \( {{\left( xy \right)}^{n}}={{x}^{n}}.{{y}^{n}} \)

C. \( {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{m}}={{x}^{nm}}   \)                               

D. \( {{x}^{m}}.{{y}^{n}}={{\left( xy \right)}^{m+n}} \)

Ví dụ 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. \( {{\left( -3 \right)}^{\frac{2}{5}}} \)

B. \( {{\left( -2 \right)}^{-7}} \)

C. \( {{4}^{\frac{3}{4}}} \)

D. \( 1,{{2}^{-\frac{2}{3}}} \)

Nếu \( \alpha \) không phải số nguyên thì \( {{a}^{\alpha }} \) có nghĩa khi \( a>0 \) nên \( {{\left( -3 \right)}^{\frac{2}{5}}} \) không có nghĩa

Đáp án A

Ví dụ 4. Xét khẳng định: “với số thực a và hai số hữu tỉ \( \alpha ,\beta \) ta có \( {{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }} \)”. Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

A. a bất kì

B. \( a\ne 0 \)
C. \( a>0  \)                        
D. \( a<1 \)

Theo lí thuyết bài giảng “Khi xét lũy thứa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương”.

Do đó a > 0.

Đáp án C

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức \( \sqrt{16{{a}^{6}}{{b}^{2}}} \) (với b < 0) là:

A. \( -4{{a}^{3}}\left| b \right| \)

B. \( 4{{a}^{3}}b \)              

C. \( -4{{a}^{3}}b \)         

D. \( -4\left| {{a}^{3}} \right|b \)

Ta có: \( \sqrt{16{{a}^{6}}{{b}^{2}}}=4\left| {{a}^{3}} \right|\left| b \right| \) (vì \( b<0\Rightarrow \left| b \right|=-b \))

 \( \Rightarrow \sqrt{16{{a}^{6}}{{b}^{2}}}=-4\left| {{a}^{3}} \right|b \)

Đáp án D

Ví dụ 6. Cho x là số thực dương. Biểu thức \( \sqrt[4]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}} \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. \( {{x}^{\frac{7}{12}}} \)

B. \( {{x}^{\frac{5}{6}}} \)

C. \( {{x}^{\frac{12}{7}}} \)                                    

D. \( {{x}^{\frac{6}{5}}} \)

Đáp án A

 \( \sqrt[4]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}}=\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{\frac{1}{3}}}} = \) \( \sqrt[4]{{{x}^{\frac{7}{3}}}}={{\left( {{x}^{\frac{7}{3}}} \right)}^{\frac{1}{4}}}={{x}^{\frac{7}{12}}} \)

Ví dụ 7. Cho b là số thực dương. Biểu thức \( \frac{\sqrt[5]{{{b}^{2}}\sqrt{b}}}{\sqrt[3]{b\sqrt{b}}} \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. \( -2 \)

B. \( -1 \)

C. 2                                   

D. 1

Đáp án D

 \( \frac{\sqrt[5]{{{b}^{2}}\sqrt{b}}}{\sqrt[3]{b\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt[5]{{{b}^{2}}.{{b}^{\frac{1}{2}}}}}{\sqrt[3]{b.{{b}^{\frac{1}{2}}}}} \) \( =\frac{\sqrt[5]{{{b}^{\frac{5}{2}}}}}{\sqrt[3]{{{b}^{\frac{3}{2}}}}}=\frac{{{b}^{\frac{1}{2}}}}{{{b}^{\frac{1}{2}}}}=1 \)

Ví dụ 8. Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức \( \sqrt[5]{\frac{a}{b}\sqrt[3]{\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a}{b}}}} \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{7}{30}}} \)

B. \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{31}{30}}} \)

C. \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{30}{31}}} \)                                    

D. \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{6}}} \)

Đáp án D

Ta có: \( \sqrt[5]{\frac{a}{b}\sqrt[3]{\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a}{b}}}}=\sqrt[5]{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-1}}{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} \)

 \( =\sqrt[5]{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-\frac{1}{2}}}}}=\sqrt[5]{\frac{a}{b}{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-\frac{1}{6}}}} \) \( =\sqrt[5]{{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{5}{6}}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{6}}} \)

Ví dụ 9. Ta có đẳng thức \( \frac{\sqrt[3]{a.{{a}^{\frac{33}{5}}}}}{{{a}^{3}}}={{a}^{\alpha }} \) với \( 0< a\ne 1 \). Khi đó \( \alpha \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A. \( \left( -1;0 \right) \)

B. \( \left( 0;1 \right) \)

C. \( \left( 1;3 \right) \)       

D. \( \left( 3;4 \right) \)

Ta có: \( \frac{\sqrt[3]{a.{{a}^{\frac{33}{5}}}}}{{{a}^{3}}}=\frac{\sqrt[3]{{{a}^{\frac{38}{5}}}}}{{{a}^{3}}} \)
\( =\frac{{{a}^{\frac{38}{15}}}}{{{a}^{3}}}={{a}^{\frac{38}{15}-3}}={{a}^{\frac{8}{15}}}={{a}^{\alpha }} \) \( \xrightarrow{0< a\ne 1}\alpha =\frac{8}{15}\in \left( 0;1 \right) \)

Đáp án B

Ví dụ 10. Biểu thức \(\sqrt{x}.\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.\sqrt[4]{{{x}^{5}}}\) (x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là:

A. x

B. \( {{x}^{\frac{29}{12}}} \)

C. \( {{x}^{\frac{5}{3}}}  \) 

D. \( {{x}^{\frac{7}{3}}} \)

Ta có: \( \sqrt{x}.\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.\sqrt[4]{{{x}^{5}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{2}{3}}}.{{x}^{\frac{5}{4}}} \) \( ={{x}^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{4}}}={{x}^{\frac{29}{12}}} \)

Đáp án B

Ví dụ 11. Biểu thức \( A=\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x}}}} \) (x > 0) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. \( {{x}^{\frac{4}{13}}} \)

B. \( {{x}^{\frac{31}{60}}} \)

C. \( {{x}^{\frac{43}{60}}} \)             

D. \( {{x}^{\frac{1}{4}}} \)

Ta có: \( A=\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x}}}}=\sqrt{x}.\sqrt[2.3]{x}.\sqrt[2.3.4]{x}\sqrt[2.3.4.5]{x} \) \( ={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{1}{6}}}{{x}^{\frac{1}{24}}}.{{x}^{\frac{1}{120}}}={{x}^{\frac{43}{60}}} \)

Đáp án C

Ví dụ 12. Cho x là số thực dương. Biểu thức \( \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}}}} \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. \( {{x}^{\frac{256}{255}}} \)

B. \( {{x}^{\frac{255}{256}}} \)

C. \( {{x}^{\frac{127}{128}}} \)           

D. \( {{x}^{\frac{128}{127}}} \)

Đáp án B

\( \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}}}} \)
\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{1}{2}}}}}}}}}} \)

\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{3}{2}}}}}}}}}} \)
\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x{{\left( {{x}^{\frac{3}{2}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}}} \)

\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x{{\left( {{x}^{\frac{3}{2}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}}} \)
\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{3}{4}}}}}}}}} \)

\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{7}{4}}}}}}}}}\) \(=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{7}{8}}}}}}}} \)

\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{15}{8}}}}}}}} \) \( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{15}{16}}}}}}} \) \( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{31}{16}}}}}}} \)

\( =\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{31}{32}}}}}}=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{63}{32}}}}}} \) \( =\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{63}{64}}}}}=\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{127}{64}}}}} \) \( =\sqrt{x.{{x}^{\frac{127}{128}}}}=\sqrt{{{x}^{\frac{255}{128}}}}={{x}^{\frac{255}{256}}} \)

Dạng 2. Tính giá trị và rút gọn của biểu thức

Ví dụ 13. Giá trị \( A={{\left( \frac{1}{27} \right)}^{-\frac{2}{3}}}+{{\left( \frac{1}{16} \right)}^{-1,25}} \) bằng:

A. 41

B. 20

C. 15   

D. 10

\(A={{\left( \frac{1}{27} \right)}^{-\frac{2}{3}}}+{{\left( \frac{1}{16} \right)}^{-1,25}}\) \(={{27}^{\frac{2}{3}}}+{{16}^{\frac{5}{4}}}=\sqrt[3]{{{27}^{2}}}+\sqrt[4]{{{16}^{5}}}\) \(=\sqrt[3]{{{3}^{6}}}+\sqrt[4]{{{2}^{20}}}={{3}^{2}}+{{2}^{5}}=41\)

Các bạn có thể dùng máy tính để tính ra kết quả.

Đáp án A

Ví dụ 14. Giá trị của \( A=\frac{{{3}^{4}}{{.3}^{-2}}+{{2}^{5}}{{.2}^{-4}}}{{{2}^{4}}{{.2}^{3}}-{{2.3}^{5}}{{.3}^{-4}}} \) bằng:

A. \( \frac{11}{10} \)

B. \( \frac{11}{122} \)

C. \( -\frac{11}{122} \)     

D. \( -\frac{11}{10} \)

\( A=\frac{{{3}^{4}}{{.3}^{-2}}+{{2}^{5}}{{.2}^{-4}}}{{{2}^{4}}{{.2}^{3}}-{{2.3}^{5}}{{.3}^{-4}}} \) \( =\frac{{{3}^{2}}+2}{{{2}^{7}}-2.3}=\frac{11}{122} \)

Các bạn có thể dùng máy tính để tính ra kết quả

Đáp án B

Ví dụ 15. Giá trị của \( A=\frac{{{3}^{5}}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}+{{\left( {{2}^{2}} \right)}^{-3}}.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{-4}}}{{{5}^{-3}}{{.25}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{0}}.{{\left( \frac{1}{25} \right)}^{-1}}} \)  bằng:

A. \( \frac{31}{30} \)

B. \( \frac{1}{3} \)

C. \( \frac{13}{30} \)      

D. \( \frac{11}{30} \)

Đáp án C

\( A=\frac{{{3}^{5}}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}+{{\left( {{2}^{2}} \right)}^{-3}}.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{-4}}}{{{5}^{-3}}{{.25}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{0}}.{{\left( \frac{1}{25} \right)}^{-1}}} \) \( =\frac{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}{5+{{5}^{2}}}=\frac{13}{30} \)

Các bạn có thể dùng máy tính để tính ra kết quả

Ví dụ 16. Giá trị của biểu thức \( P={{32}^{-0,2}}-{{\left( \frac{1}{64} \right)}^{-0,25}}+{{\left( \frac{8}{27} \right)}^{\frac{1}{3}}} \) là:

A. \( P=\frac{7}{6}-2\sqrt{2} \)

B. \( P=\frac{7}{6}-\sqrt[3]{4} \)

C. \( P=\frac{8}{3}-2\sqrt{2} \)                                

D. \( P=\frac{8}{3}-\sqrt[3]{4} \)                                   

+ Cách 1:

Ta có: \( P={{\left( {{2}^{5}} \right)}^{-\frac{1}{5}}}-{{\left( {{2}^{-6}} \right)}^{-\frac{1}{4}}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3.\frac{1}{3}}} \) \( =\frac{1}{2}-{{2}^{\frac{3}{2}}}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}-2\sqrt{2} \)

Đáp án A.

+ Cách 2: Sử dụng máy tính Caiso: Nhận thấy 4 phương án có các số vô tỉ \( 2\sqrt{2} \) và \( \sqrt[3]{4} \) nên ta nhập máy tính 2 biểu thức: \( \left( P+2\sqrt{2} \right) \) và \( \left( P+\sqrt[3]{4} \right) \) sẽ thấy \( P+2\sqrt{2}=\frac{7}{6} \) còn \( P+\sqrt[3]{4}=-0,07435940611 \)

Đáp án A

Ví dụ 17. Giá trị của biểu thức \( P=\frac{{{2}^{3}}{{.2}^{-1}}+{{5}^{-3}}{{.5}^{4}}}{{{10}^{-3}}:{{10}^{-2}}-{{\left( 0,1 \right)}^{0}}} \) là:

A. 9

B. \( -9 \)

C. \( -10 \)                          

D. 10

Đáp án C

 \( P=\frac{{{2}^{3}}{{.2}^{-1}}+{{5}^{-3}}{{.5}^{4}}}{{{10}^{-3}}:{{10}^{-2}}-{{\left( 0,1 \right)}^{0}}} \) \( =\frac{{{2}^{2}}+5}{{{10}^{-1}}-1}=\frac{9}{\frac{1}{10}-1}=-10 \)

Ví dụ 18. Rút gọn biểu thức \( A=\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{3}}}-8 \right)}{x+2\sqrt{x}+4 }\) \( \left( x>0 \right) \) được kết quả là:

A. 4

B. \( x-4 \)

C. \( x+4 \)                        

D. \( \sqrt{x}-4 \)

Ta có: \( A=\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{3}}}-8 \right)}{x+2\sqrt{x}+4} \) \( =\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+4 \right)}{x+2\sqrt{x}+4} \) \( =x-4 \)

Đáp án B

Ví dụ 19. Giá trị của biểu thức \( P=\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}-8{{a}^{\frac{1}{3}}}b}{{{a}^{\frac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{ab}+4{{b}^{\frac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\frac{2}{3}}} \)  là:

A. \( P=1 \)

B. \( P=0 \)

C. \( P=\frac{a}{b} \)                                    

D. \( P=\frac{b}{a} \)

Cách 1:\( P=\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}-8{{a}^{\frac{1}{3}}}b}{{{a}^{\frac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{ab}+4{{b}^{\frac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\frac{2}{3}}} \)

\( =\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\left( a-8b \right)}{{{a}^{\frac{2}{3}}}+2{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}+4{{b}^{\frac{2}{3}}}}.{{\left( \frac{\sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} \right)}^{-1}}-{{a}^{\frac{2}{3}}} \)

\( =\frac{\sqrt[3]{a}\left[ {{\left( \sqrt[3]{a} \right)}^{3}}-{{\left( 2\sqrt[3]{b} \right)}^{3}} \right]}{{{a}^{\frac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{ab}+4{{b}^{\frac{2}{3}}}}.\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b}}-{{a}^{\frac{2}{3}}} \)

\( =\frac{{{\left( \sqrt[3]{a} \right)}^{2}}\left( \sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b} \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{a} \right)}^{2}}+2\sqrt[3]{ab}{{\left( 2\sqrt[3]{b} \right)}^{2}} \right]}{\left( \sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b} \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{a} \right)}^{2}}+2\sqrt[3]{ab}{{\left( 2\sqrt[3]{b} \right)}^{2}} \right]}-{{a}^{\frac{2}{3}}} \)

\( ={{a}^{\frac{2}{3}}}-{{a}^{\frac{2}{3}}}=0 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Các bạn nhập vào máy tính biểu thức

 \( \frac{{{X}^{\frac{4}{3}}}-8{{X}^{\frac{1}{3}}}Y}{{{X}^{\frac{2}{3}}}+2\sqrt[3]{XY}+4{{Y}^{\frac{2}{3}}}}.{{\left( 1-2\sqrt[3]{\frac{Y}{X}} \right)}^{-1}}-{{X}^{\frac{2}{3}}} \) sau đó nhấn phím CALC và cho X = 2, Y = 3 và nhấn dấu “=” sẽ thu được kết quả 0.

Đáp án B

Chú ý: Với các bài rút gọn biểu thức như trên các bạn nên chọn a và b là 2 số nguyên tử cùng nhau như a = 2, b = 3 ứng với việc nhập vào máy là X = 2, Y = 3.

Ví dụ 20. Giá trị của biểu thức \( Q={{\left( {{a}^{\frac{1}{2}}}-{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}:\left( b-2b\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{{{b}^{2}}}{a} \right) \) là

A. \( Q=a \)

B. \( Q=b \)

C. \( Q=1 \)

D. \( Q=\frac{a}{b} \)

Cách 1: Ta có: \( Q={{\left( {{a}^{\frac{1}{2}}}-{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}:\left( b-2b\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{{{b}^{2}}}{a} \right) \) \( ={{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}:{{\left( \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}} \right)}^{2}} \)

 \( ={{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}:{{\left[ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right) \right]}^{2}} \) \( ={{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}.\frac{a}{b{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}}=\frac{a}{b} \)

Đáp án D

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Các bạn nhập vào máy tính biểu thức \( {{\left( {{X}^{\frac{1}{2}}}-{{Y}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}:\left( Y-2Y\sqrt{\frac{Y}{X}}+\frac{{{Y}^{2}}}{X} \right) \)  sau đó nhấn phím CALC và cho X = 2, Y = 3 và nhấn dấu “=” sẽ thu được kết quả \( 0,666666667=\frac{2}{3}=\frac{X}{Y}=\frac{a}{b} \)

Đáp án D

Ví dụ 21. Cho \( P={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}}-{{y}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}{{\left( 1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x} \right)}^{-1}} \). Biểu thức rút gọn của P là:

A.  \( x \)

B. \( 2x \)

C. \( x+1 \)                         

D. \( x-1 \)

Đáp án A

 \( P={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}}-{{y}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}{{\left( 1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x} \right)}^{-1}} \) \( ={{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}{{\left( \frac{x-2\sqrt{xy}+y}{x} \right)}^{-1}} \)

 \( ={{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}\frac{x}{{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}}=x \)

Ví dụ 22. Cho biểu thức \( A=\left( \frac{{{a}^{0,5}}+2}{a+2{{a}^{0,5}}+1}-\frac{{{a}^{0,5}}-2}{a-1} \right).\frac{{{a}^{0,5}}+1}{{{a}^{0,5}}} \)(với \( 0< a\ne 1 \)) . Biểu thức rút gọn của A là:

A. \( A=a-1 \)

B. \( A=\frac{2}{a-1} \)

C. \( A=2a+1 \)                

D. \( A=\frac{4}{2a-1} \)

Đáp án B

\( A=\left( \frac{{{a}^{0,5}}+2}{a+2{{a}^{0,5}}+1}-\frac{{{a}^{0,5}}-2}{a-1} \right).\frac{{{a}^{0,5}}+1}{{{a}^{0,5}}} \)

\( =\left[ \frac{{{a}^{0,5}}+2}{{{\left( {{a}^{0,5}}+1 \right)}^{2}}}-\frac{{{a}^{0,5}}-2}{\left( {{a}^{0,5}}-1 \right)\left( {{a}^{0,5}}+1 \right)} \right].\frac{{{a}^{0,5}}+1}{{{a}^{0,5}}} \)

\( =\left[ \frac{{{a}^{0,5}}+2}{{{a}^{0,5}}+1}-\frac{{{a}^{0,5}}-2}{{{a}^{0,5}}-1} \right].\frac{1}{{{a}^{0,5}}} \)

\( =\frac{a+{{a}^{0,5}}-2-a+{{a}^{0,5}}+2}{a-1}.\frac{1}{{{a}^{0,5}}} \) \( =\frac{2}{a-1} \)

Ví dụ 23. Biểu thức rút của \( B={{\left[ \frac{x\sqrt{x}-x}{\left( \frac{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}-1}{\sqrt[4]{x}-1}-\sqrt{x} \right)\left( \frac{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}+1}{\sqrt[4]{x}+1}-\sqrt{x} \right)} \right]}^{3}} \) (với \( x>0,x\ne 1 \)) là

A. \( B=-{{x}^{3}} \)

B. \( B=1-{{x}^{3}} \)

C. \( B=\frac{2}{1-2{{x}^{3}}} \)         

D. \( B=\frac{2}{1-{{x}^{3}}} \)

Đáp án A

Ta có:

\( B={{\left[ \frac{x\sqrt{x}-x}{\left( \frac{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}-1}{\sqrt[4]{x}-1}-\sqrt{x} \right)\left( \frac{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}+1}{\sqrt[4]{x}+1}-\sqrt{x} \right)} \right]}^{3}} \)

\( ={{\left[ \frac{x\sqrt{x}-x}{\left( \sqrt[4]{{{x}^{2}}}+\sqrt[4]{x}+1-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt[4]{{{x}^{2}}}-\sqrt[4]{x}+1-\sqrt{x} \right)} \right]}^{3}} \)

\( ={{\left[ \frac{x\sqrt{x}-x}{\left( \sqrt[4]{x}+1 \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)} \right]}^{3}}\) \(={{\left[ \frac{x\left( \sqrt{x}-1 \right)}{1-\sqrt{x}} \right]}^{3}}=-{{x}^{3}} \)

Ví dụ 24. Biểu thức rút gọn của \( C=\left( \frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}-{{y}^{\frac{1}{2}}}}{y{{x}^{\frac{1}{2}}}+x{{y}^{\frac{1}{2}}}}+\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{y}^{\frac{1}{2}}}}{x{{y}^{\frac{1}{2}}}-y{{x}^{\frac{1}{2}}}} \right).\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}{{y}^{\frac{1}{2}}}}{x+y}-\frac{2y}{x-y} \) (với \( x>0,y>0,x\ne y \))là:

A. \( C=2 \)

B. \( C=x+1 \)                    

C. \( C=2-x \)

D. \( C=2x \)

Cách 1:

Đáp án A

\( C=\left( \frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}-{{y}^{\frac{1}{2}}}}{y{{x}^{\frac{1}{2}}}+x{{y}^{\frac{1}{2}}}}+\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{y}^{\frac{1}{2}}}}{x{{y}^{\frac{1}{2}}}-y{{x}^{\frac{1}{2}}}} \right).\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}{{y}^{\frac{1}{2}}}}{x+y}-\frac{2y}{x-y} \)

\( =\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)} \right).\frac{x.\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y} \)

\( =\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right).\frac{x}{x+y}-\frac{2y}{x-y} \)

\( =2\left( \frac{x+y}{x-y} \right)\frac{x}{x+y}-\frac{2y}{x-y}=2 \)

Cách 2: Dùng ẩn phụ

Đặt \( \left\{ \begin{align}& a={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& b={{y}^{\frac{1}{2}}} \\\end{align} \right. \)

Ta có:

\(C =\left( \frac{a-b}{a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b}+\frac{a+b}{a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b} \right).\frac{{{a}^{3}}b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{2{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \)

\( =\left( \frac{a-b}{b+a}+\frac{a+b}{b-a} \right).\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{2{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \)

\( =2\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \right).\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{2{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=2 \)

Ví dụ 25. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức \( P=\left( 2{{a}^{\frac{1}{4}}}-3{{b}^{\frac{1}{4}}} \right).\left( 2{{a}^{\frac{1}{4}}}+3{{b}^{\frac{1}{4}}} \right).\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}}+9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right) \) có dạng là \( P=xa+yb \). Khi đó \( x+y \)?

A. \( x+y=97 \)
B. \( x+y=-65 \)
C. \( x-y=56   \)                  
D. \( y-x=-97 \)

Đáp án B

Cách 1:

Ta có:

\( P=\left( 2{{a}^{\frac{1}{4}}}-3{{b}^{\frac{1}{4}}} \right).\left( 2{{a}^{\frac{1}{4}}}+3{{b}^{\frac{1}{4}}} \right).\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}}+9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)\)

\( =\left( {{\left( 2{{a}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{2}}-{{\left( 3{{b}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{2}} \right).\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}}+9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)\) \(=\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}}-9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}}+9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right) \)

\( ={{\left( 4{{a}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 9{{b}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}\) \(=16a-81b \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=16 \\& y=-81 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow x+y=-65 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Cho a = 1, b =1 bấm máy ra kết quả là A

Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B

Giải hệ \( \left\{ \begin{align}& x+y=A \\& 2x+3y=B \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=16 \\& y=-81 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow x+y=-65 \)

Ví dụ 26. Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức \( P=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{4a}+\sqrt[4]{16ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} \) có dạng \( P=m\sqrt[4]{a}+n\sqrt[4]{b} \). Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

A. \( 2m-n=-3 \)

B. \( m+n=-2 \)

C. \( m-n=0  \)                    

D. \( m+3n=-1 \)

Đáp án A

Cách 1:

\( P=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{4a}+\sqrt[4]{16ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} \)

= \( \frac{{{\left( \sqrt[4]{a} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt[4]{b} \right)}^{2}}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} \)

\( =\frac{\left( \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b} \right)\left( \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b} \right)}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{2\sqrt[4]{a}\left( \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b} \right)}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} \)

\( =\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}-2\sqrt[4]{a} \) \( =\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a} \)

Do đó \( m=-1;n=1\Rightarrow 2m-n=-3 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio

Cho a = 1, b = 1 bấm máy ra kết quả là A

Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B.

Giải hệ \( \left\{ \begin{align}& m+n=A \\& 2m+3n \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m=-1 \\& m=1 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow 2m-n=-3 \)

Dạng 3. So sánh các số

Ví dụ 27. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. \( {{a}^{-\sqrt{3}}}>\frac{1}{{{a}^{\sqrt{5}}}} \)

B. \( {{a}^{\frac{1}{3}}}>\sqrt{a} \)

C. \( \frac{1}{{{a}^{2016}}}<\frac{1}{{{a}^{2017}}} \)                               

D. \( \frac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{a}>1 \)

+ \( {{a}^{-\sqrt{3}}}>\frac{1}{{{a}^{\sqrt{5}}}}\Leftrightarrow {{a}^{-\sqrt{3}}}>{{a}^{-\sqrt{5}}} \) Vì \( \left\{ \begin{align}& a>1 \\& {{a}^{-\sqrt{3}}}>{{a}^{-\sqrt{5}}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -\sqrt{3}>-\sqrt{5} \) (Đúng). Chọn đáp án A

+ \( {{a}^{\frac{1}{3}}}>\sqrt{a}\Leftrightarrow {{a}^{\frac{1}{3}}}>{{a}^{\frac{1}{2}}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& a>1 \\& {{a}^{\frac{1}{3}}}>{{a}^{\frac{1}{2}}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{3}>\frac{1}{2} \) (Sai). Loại B

+ \( \frac{1}{{{a}^{2016}}}<\frac{1}{{{a}^{2017}}}\Leftrightarrow {{a}^{-2016}}<{{a}^{-2017}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& a>1 \\& {{a}^{-2016}}<{{a}^{-2017}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2016<-2017 \) (sai). Loại C

+ \( \frac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{a}>1\Leftrightarrow \frac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{a}>1 \) \( \Leftrightarrow {{a}^{-\frac{1}{3}}}>1={{a}^{0}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& a>1 \\& {{a}^{-\frac{1}{3}}}>{{a}^{0}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{3}>0 \) (sai). Loại D

Đáp án A

Ví dụ 28. Cho 0 < a < 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. \( {{a}^{-2}}>\frac{1}{{{a}^{3}}} \)

B. \( {{a}^{\frac{1}{5}}}>\sqrt{a} \)

C. \( \frac{1}{{{a}^{2016}}}>\frac{1}{{{a}^{2017}}} \)                                  

D. \( \frac{a}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}>1 \)

+ \( {{a}^{-2}}>\frac{1}{{{a}^{3}}}\Leftrightarrow {{a}^{-2}}>{{a}^{-3}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& 0< a <1 \\& {{a}^{-2}} > {{a}^{-3}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2 <-3 \) (sai). Loại A

+ \( {{a}^{\frac{1}{5}}}>\sqrt{a}\Leftrightarrow {{a}^{\frac{1}{5}}}>{{a}^{\frac{1}{2}}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& 0 < a <1 \\& {{a}^{\frac{1}{5}}}>{{a}^{\frac{1}{2}}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{5}<\frac{1}{2} \) (đúng). Chọn đáp án B

+ \( \frac{1}{{{a}^{2016}}}>\frac{1}{{{a}^{2017}}}\Leftrightarrow {{a}^{-2016}}>{{a}^{-2017}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& 0< a <1 \\& {{a}^{-2016}}>{{a}^{-2017}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2016<-2017 \) (sai). Loại C

+ \( \frac{a}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}>1\Leftrightarrow {{a}^{\frac{1}{3}}}>1={{a}^{0}} \) vì \( \left\{ \begin{align}& 0< a <1 \\& {{a}^{\frac{1}{3}}}>{{a}^{0}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{3}<0 \) (sai). Loại D

Đáp án B

Ví dụ 29. Cho 0 < a < b. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. \( {{a}^{2}}>{{b}^{2}} \)

B. \( \sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b} \)

C. \( \frac{1}{\sqrt[5]{a}}>\frac{1}{\sqrt[5]{b}} \)                              

D. \( {{a}^{-\frac{1}{2}}}<{{b}^{-\frac{1}{2}}} \)

+ Với \( {{a}^{2}}>{{b}^{2}} \); a,b > 0 thì \( a>b>0 \) (Loại A)

+ Với \( \sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b} \); a, b > 0 thì \( a>b>0 \) (Loại B)

+ Với \( \frac{1}{\sqrt[5]{a}}>\frac{1}{\sqrt[5]{b}}\Leftrightarrow \sqrt[5]{b}>\sqrt[5]{a} \); a, b > 0 thì \( b>a>0 \) (Chọn đáp án C)

+ Với \( {{a}^{-\frac{1}{2}}}<{{b}^{-\frac{1}{2}}} \); a, b > 0 thì \( a>b>0 \) (Loại D)

Đáp án C

Ví dụ 30. Cho \( {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{a}}>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{b}} \). Kết luận nào sau đây đúng?

A. \( a>b \)

B. \( a < b \)

C. \( a=b \)  

D. \( a\ge b \)

Cách 1: Do \( 0<\sqrt{2}-1<1 \) nên \( {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{a}}>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{b}}\Leftrightarrow a < b \).

Đáp án B

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Các bạn nhập vào máy tính 2 biểu thức \( \left( \sqrt{2}-1 \right)=0,4142135624 \) và \( {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=0,1715728753 \). Từ đó ta thấy với 1 < 2 thì \( \left( \sqrt{2}-1 \right)>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}} \)

Áp dụng vào bài ta dễ thấy 1 ứng với a và 2 ứng với \( b\Rightarrow a < b \)

Đáp án B

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!