Home Toán học Bài tập về công thức Logarit – Vận dụng – Vận dụng cao

Bài tập về công thức Logarit – Vận dụng – Vận dụng cao

by AdminTLH

Bài tập về công thức Logarit - Vận dụng - Vận dụng cao

Ví dụ 1. Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 và \( \frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{a}}b}=\sqrt{2020} \). Giá trị của biểu thức  \( P=\frac{1}{{{\log }_{ab}}b}-\frac{1}{{{\log }_{ab}}a} \) bằng

A. \( \sqrt{2014} \)

B. \( \sqrt{2016} \)

C. \( \sqrt{2018} \)          

D.  \( \sqrt{2020} \)

Đáp án B.

D a > b > 1 nên  \( {{\log }_{a}}b>0,{{\log }_{b}}a>0 \) và  \( {{\log }_{b}}a>{{\log }_{a}}b. \)

Ta có:  \( \frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{a}}b}=\sqrt{2020} \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{b}}a+{{\log }_{a}}b=\sqrt{2020} \)

 \( \Leftrightarrow \log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b+2=2020\Leftrightarrow \log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b=2018 \)

Khi đó:  \( P={{\log }_{b}}ab-{{\log }_{a}}ab \)  \( ={{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}b-{{\log }_{a}}a-{{\log }_{a}}b={{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b \)

Suy ra: \({{P}^{2}}={{\left( {{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}=\log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b-2=2018-2=2016\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{2016}\)

Ví dụ 2. Gọi \( {{x}_{0}}<{{x}_{1}}<…<{{x}_{2019}} \) là các nghiệm của phương trình \(\ln x\left( \ln x-1 \right)\left( \ln x-2 \right)….\left( \ln x-2019 \right)=0\). Tính giá trị biểu thức \(P=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)….\left( {{x}_{2019}}-2020 \right)\).

A. \(P=\left( e-1 \right)\left( {{e}^{2}}-2 \right)\left( {{e}^{3}}-3 \right)….\left( {{e}^{2010}}-2010 \right)\)

B. P = 0

C. \( P=-2010! \)

D.  \( P=2010! \) .

Đáp án B.

Điều kiện: x > 0.

Xét phương trình:  \( \ln x\left( \ln x-1 \right)\left( \ln x-2 \right)…\left( \ln x-2019 \right)=0 \) (*)

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \ln x=0 \\& \ln x=1 \\& \ln x=2 \\& … \\& \ln x=2019 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\& x=e \\& x={{e}^{2}} \\& … \\& x={{e}^{2019}} \\\end{align} \right. \) (thỏa mãn).

Vì  \( {{x}_{0}}<{{x}_{1}}<…<{{x}_{2019}} \) nên  \( {{x}_{0}}=1,{{x}_{1}}=e,{{x}_{2}}={{e}^{2}},….,{{x}_{2019}}={{e}^{2019}} \).

Ta có:  \( P=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)….\left( {{x}_{2019}}-2020 \right) \)  \( =\left( 1-1 \right)\left( e-2 \right)\left( {{e}^{2}}-3 \right)…\left( {{e}^{2019}}-2020 \right)=0 \)

Vậy P = 0.

Ví dụ 3. Gọi x, y các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( {{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \) và  \( \frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \), với a, b là hai số nguyên dương. Tính  \( T={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \) .

A. T = 26

B. T = 29

C. T = 20                         

D. T = 25

Đáp án A.

Đặt  \( t={{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \) , ta có: \( \left\{ \begin{align}& x={{9}^{t}} \\ & y={{6}^{t}} \\& x+y={{4}^{t}} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}+{{6}^{t}}={{4}^{t}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{(loại)} \\& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)

Suy ra:  \( \frac{x}{y}={{\left( \frac{9}{6} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\& b=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26 \)

Ví dụ 4. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \( {{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( 4a-5b \right)-1 \). Đặt  \( T=\frac{b}{a} \) . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( 1<T<2 \)

B.  \( \frac{1}{2}<T<\frac{2}{3} \)                          

C.  \( -2<T<0 \)

D.  \( 0<T<\frac{1}{2} \)

Đáp án D.

Giả sử: \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}(4a-5b)-1=t\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a={{4}^{t}} \\ & b={{6}^{t}} \\ & 4a-5b={{9}^{t+1}} \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( {{4.4}^{t}}-{{5.6}^{t}}={{9.9}^{t}}\Leftrightarrow 4{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{t}}-5{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{t}}=9 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2t}}-5{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=\frac{9}{4}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}} \\ & {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=-1\text{  (loại)} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow t=-2\Rightarrow T=\frac{b}{a}={{\left( \frac{6}{4} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=\frac{4}{9}\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)

Ví dụ 5. Cho x, y là các sốt hực dương khác 1 thỏa mãn \( x\ne y  \) và \({{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}\text{x}\). Tích các giá trị nguyên nhỏ hơn 2021 của biểu thức \(\text{P=}{{4}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}+{{4}^{y}}\) là

A. \(2021!\)

B. \(\frac{2020!}{16}\)

C. \(\frac{2020!}{2}\)          

D. \(2020!\)

 

Đáp án B.

Ta có: \({{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}x\Leftrightarrow {{\log }_{x}}(xy)=2{{\log }_{y}}x\)\(\Leftrightarrow 1+{{\log }_{x}}y=2.\frac{1}{{{\log }_{x}}y}\Leftrightarrow \log _{x}^{2}y+{{\log }_{x}}y-2=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\log }_{x}}y=1 \\ & {{\log }_{x}}y=-2 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y\text{ (loại)} \\ & y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{ (nhận) } \\ \end{align} \right. \)

Với  \( y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow P={{2.4}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}={{\log }_{4}}\frac{P}{2} \)(*)

Với  \( x>0,x\ne 1 \)   \( \Rightarrow P>2 \) và  \( P\ne 8 \).

Suy ra tập hợp các số nguyên P thỏa mãn điều kiện (*) là:  \( S=\left\{ ;4;5;6;7;9;…;2020 \right\} \) .

Tích các phần tử của S là:  \( 3.4.5.6.7.9….2020=\frac{2020!}{16} \).

Ví dụ 6. Cho số thực x thỏa mãn \( {{\log }_{2}}\left( {{\log }_{8}}x \right)={{\log }_{8}}\left( {{\log }_{2}}x \right) \). Tính giá trị  \( P={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{4}} \).

A. P = 27

B. \( P=81\sqrt{3} \)       

C. P = 729                       

D. P = 243

Đáp án C.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}& x>0 \\ & {{\log }_{8}}x>0 \\ & {{\log }_{2}}x>0 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{\log }_{2}}\left( {{\log }_{8}}x \right)={{\log }_{8}}\left( {{\log }_{2}}x \right) \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{1}{3}{{\log }_{2}}x \right)={{\log }_{2}}{{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\frac{1}{3}}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x} \) (*)

Đặt  \( t=\sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{t}^{3}}={{\log }_{2}}x  \)

 \( (*)\Leftrightarrow {{t}^{3}}=3t\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\  & t=\sqrt{3} \\ & t=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow t=\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt[3]{{{\log }_{2}}x}=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\sqrt{3} \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x={{2}^{3\sqrt{3}}} \) (thỏa mãn đề bài).

Vậy  \( P={{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{4}}=729 \) .

Ví dụ 7. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 8. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 9. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 10. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 11. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 12. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!