Home Toán học Bài 2.2 – Bài tập về công thức Logarit

Bài 2.2 – Bài tập về công thức Logarit

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về Logarit

+ Điều kiện xác định của \( {{\log }_{a}}b \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b>0 \\& 0 < a\ne 1 \\\end{align} \right. \)

+ Các công thức và quy tắc tính logarit: với \( 0 < a\ne 1 \) và \( b>0,c>0,\alpha \ne 0 \):

  • \({{\log }_{a}}1=0\)
  • \({{\log }_{a}}a=1\)
  •  \( {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b \)
  •  \( {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}{{\log }_{a}}b \)  \( \left( n\ne 0 \right) \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b \\& {{\log }_{a}}{{b}^{m}}=m{{\log }_{a}}b \\\end{align} \right. \)
  •  \( {{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c \)
  •  \( {{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c \) \( \Rightarrow {{\log }_{a}}\frac{1}{b}=-{{\log }_{a}}b \)
  • \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b \) \( \Rightarrow {{\log }_{c}}b=\frac{{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}c} \) \( \left( 0 < c\ne 1 \right) \)
  •  \( {{\log }_{a}}c=\frac{1}{{{\log }_{c}}a} \) \( \left( 0 < c\ne 1 \right) \)
  •  \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c \)

+ So sánh: Cho số dương \(a\ne 1\) và các số dương \(b,c\):

  • Khi \(a>1\) thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c\) và \({{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b>1\)
  • Khi \(0<a<1\) thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b<c\) và \( {{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b<1 \)

+ Chú ý:

  • Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết: \( {{\log }_{10}}b=\log b=\lg b \)
  • Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết: \( {{\log }_{e}}b=\ln b \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Áp dụng công thức và sử dụng tính chất của logarit

Ví dụ 1. Giá trị của \({{\left( \sqrt{a} \right)}^{3{{\log }_{a}}4}}\) bằng

A. 2

B. 3

C. 4                                   

D. 8

Đáp án D

+ Cách 1:

Ta có: \({{\left( \sqrt{a} \right)}^{3{{\log }_{a}}4}}={{a}^{\frac{1}{2}3.2{{\log }_{a}}2}}\) \(={{a}^{3{{\log }_{a}}2}}={{a}^{{{\log }_{a}}{{2}^{3}}}}={{a}^{{{\log }_{a}}8}}=8\)

+ Cách 2: Sử dụng máy tính Casio nhập biểu thức: \( {{\left( \sqrt{X} \right)}^{3{{\log }_{X}}4}}=8 \)

Ví dụ 2. Cho các số thực dương a, b với \( a\ne 1 \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \( {{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b \)
B. \( {{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=2+2{{\log }_{a}}b \)

C. \( {{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{4}{{\log }_{a}}b \) 
D. \( {{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b \)

Đáp án B

Ta có: \( {{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( ab \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( ab \right) \) \( =\frac{1}{2}\left( {{\log }_{a}}a+{{\log }_{a}}b \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b \)

Ví dụ 3. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \( 3{{\log }_{2}}a+4{{\log }_{4}}b={{\log }_{2}}{{x}^{3}} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(x=a{{b}^{\frac{2}{3}}}\)

B. \(x={{a}^{2}}{{b}^{\frac{2}{3}}}\)

C. \(x={{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{4}{3}}}\)  

D. \(x=a{{b}^{\frac{4}{3}}}\)

Có \( {{\log }_{2}}{{x}^{3}}=3{{\log }_{2}}a+2{{\log }_{2}}b \) \( ={{\log }_{2}}{{a}^{3}}+{{\log }_{2}}{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{3}}{{b}^{2}} \right) \)

 \( \Rightarrow {{x}^{3}}={{a}^{3}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}=a{{b}^{\frac{2}{3}}} \)

Đáp án A

Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực dương và a, b khác 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A. \( {{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}a=1 \)

B. \( {{\log }_{a}}c=\frac{1}{{{\log }_{c}}a} \)

C. \( {{\log }_{a}}c=\frac{{{\log }_{b}}c}{{{\log }_{b}}a} \)

D. \( {{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c \)

Đáp án B

Phương án B chỉ đúng khi thêm điều kiện \( c\ne 1 \), do đó phương án B sai

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương và \( a\ne 1 \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \( {{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c \)

B. \( {{\log }_{a}}b<{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c \)

C. \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c \)

D. \( {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a} \)

Đáp án C

Với điều kiện \( a,b,c>0 \) và \( a\ne 1 \) thì chỉ có phương án C đúng.

(Vì phương án A chỉ đúng khi \( a>1 \), phương án B chỉ đúng khi \( 0< a <1 \) và D chỉ đúng khi có thêm điều kiện \( b\ne 1 \))

Ví dụ 6. Cho hàm số \( f(x)={{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. f \( (x)<1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0 \)

B. \( f(x)<1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0 \)

C. \( f(x)<1\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0\)
D. \( f(x)<1\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0 \)

Đáp án D

Ta có:

\(f(x)<1\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}}<1\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{2}}1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0 \\& \ln \left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<\ln 1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0 \\& {{\log }_{7}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{7}}1\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0 \\\end{align} \right.\)

Suy ra đáp án A, B, C đúng

Vậy D sai.

Ví dụ 7. Cho hai số thực a và b, với \( 1< a < b \). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. \( {{\log }_{a}}b<1<{{\log }_{b}}a \)

B. \( 1<{{\log }_{a}}b<{{\log }_{b}}a \)

C. \({{\log }_{b}}a<{{\log }_{a}}b<1\)

D. \({{\log }_{b}}a<1<{{\log }_{a}}b\)

Đáp án D.

Cách 1:  Từ \( 1 < a < b \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\log }_{a}}a<{{\log }_{a}}b \\& {{\log }_{b}}a<{{\log }_{b}}b \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1<{{\log }_{a}}b \\& {{\log }_{b}}a<1 \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a<1<{{\log }_{a}}b\).

Cách 2: Có thể cho \( \left\{ \begin{align}& a=10 \\& b=20 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\log }_{a}}b={{\log }_{10}}20>1 \\& {{\log }_{b}}a={{\log }_{20}}10<1 \\\end{align} \right. \), suy ra A, B, C sai

Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \( 0< a\ne 1 \) và \( bc>0 \). Trong các khẳng định sau:

(I) \( {{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c \)                  

(II) \( {{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c \)

(III) \( {{\log }_{a}}{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=2{{\log }_{a}}\frac{b}{c} \)                

(IV) \( {{\log }_{a}}{{b}^{4}}=4{{\log }_{a}}b \)

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án B.

Vì \( bc>0 \) nên b, c có thể âm do đó \({{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}\left| b \right|+{{\log }_{a}}\left| c \right|\); \({{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}\left| b \right|-{{\log }_{a}}\left| c \right|\) và \({{\log }_{a}}{{b}^{4}}=4{{\log }_{a}}\left| b \right|\).

Do đó các khẳng định (I), (II), (IV) sai và chỉ có III đúng

Ví dụ 9. Nếu \( {{a}^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}>{{a}^{\frac{\sqrt{5}}{2}}} \) và \( {{\log }_{b}}\frac{3}{4}<{{\log }_{b}}\frac{4}{5} \) thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( 0 < a < 1 \) và \( 0 < b < 1 \)

B. \( 0 < a < 1 \) và \( b > 1 \)

C. \( a > 1 \) và \( 0 < b < 1  \)       

D. \( a > 1 \) và \( b > 1 \)

Đáp án B

Cách 1:

Có \(\frac{\sqrt{5}}{3}<\frac{\sqrt{5}}{2}\) mà \({{a}^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}>{{b}^{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\), suy ra \(0<a<1\).

Có \(\frac{3}{4}<\frac{4}{5}\) mà \({{\log }_{b}}\frac{3}{4}<{{\log }_{b}}\frac{4}{5}\Rightarrow b>1\)

Cách 2:  Do đáp án chỉ xoay quanh việc so sánh a, b với 1 nên ta

Chọn \( a=2>1 \), khi đó \( {{a}^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}>{{a}^{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}>{{2}^{\frac{\sqrt{5}}{2}}} \) \( \Leftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}>\frac{\sqrt{5}}{2} \) (sai) \( \Rightarrow 0 < a < 1 \)

Chọn \( b=2>1 \), khi đó \( {{\log }_{2}}\frac{3}{4}<{{\log }_{2}}\frac{4}{5}\Leftrightarrow \frac{3}{4}<\frac{4}{5} \) (đúng) \( \Rightarrow b>1 \)

Vậy \( 0 < a < 1 \) và \( b > 1 \).

Ví dụ 10. Cho \( {{\log }_{a}}b>0 \). Khi đó phát biểu nào sau đây là đúng nhất?

A. a, b là các số thực cùng lớn hơn 1

B. a, b là các số thực cùng nhỏ hơn 1

C. a, b là các số thực cùng lớn hơn 1 hoặc cùng thuộc khoảng (0;1)

D. a là số thực lớn hơn 1 và b là số thực thuộc khoảng (0;1)

Đáp án C.

Ta có:

 \( {{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a>1 \\& b>1 \\\end{align} \right. \) hoặc \( \left\{ \begin{align}& 0 < a<1 \\& 0 < b<1 \\\end{align} \right. \).

Chú ý: Dấu của \( {{\log }_{a}}b \) nhớ bằng cách “cùng thì dương, khác thì âm”

(Cùng: a, b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng thuộc khoảng (0;1))

Nếu \( {{\log }_{a}}b<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a > 1 \\& 0 < b < 1 \\\end{align} \right. \) hoặc \( \left\{ \begin{align}& 0 < a < 1 \\& b > 1 \\\end{align} \right. \).

Ví dụ 11. Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

A. \( {{\log }_{e-1}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0 \)

B. \( {{\log }_{0,3}}0,7<0 \)

C. \( {{\log }_{{{x}^{2}}+2}}\frac{2}{5}>0  \)          

D. \( \ln \frac{\pi }{3}>0 \)

Đáp án D.

Ta có: A sai khi x = 0 vì \( {{\log }_{e-1}}1=0 \)

B và C sai vì \( \left\{ \begin{align}& 0,3\in (0;1);\text{ }0,7\in (0;1)\Rightarrow {{\log }_{0,3}}0,7>0 \\& {{x}^{2}}+2>1;\frac{2}{5}<1\Rightarrow {{\log }_{{{x}^{2}}+2}}\frac{2}{5}<0 \\\end{align} \right. \)

Chú ý: Có thể dùng Casio để kiểm tra (nhưng với A thì học sinh dễ mắc sai lầm vì nhiều bạn sẽ thay một giá trị bất kỳ \( x\ne 0 \) sẽ thấy A đúng – nhưng thực tế thì nó chỉ sai tại x = 0).

.

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức

Ví dụ 12. Cho \( a,b \) là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn \( \log _{a}^{2}b-8{{\log }_{b}}\left( a\sqrt[3]{b} \right)=-\frac{8}{3} \). Tính giá trị biểu thức \( P={{\log }_{a}}\left( a\sqrt[3]{ab} \right)+2020 \).

A. 2020

B. 2019

C. 2021                            

D. 2022

Đáp án D

Ta có: \(\log _{a}^{2}b-8{{\log }_{b}}\left( a\sqrt[3]{b} \right)=-\frac{8}{3}\)\(\Leftrightarrow \log _{a}^{2}b-8\left( {{\log }_{b}}a+\frac{1}{3} \right)=-\frac{8}{3}\)\(\Leftrightarrow \log _{a}^{2}b-8.\frac{1}{{{\log }_{a}}b}-\frac{8}{3}=-\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow \log _{a}^{2}b-\frac{8}{{{\log }_{a}}b}=0\)\(\Leftrightarrow \log _{a}^{3}b={{2}^{3}}\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=2\)

 \( P={{\log }_{a}}\left( a\sqrt[3]{ab} \right)+2020 \) \( ={{\log }_{a}}{{a}^{\frac{4}{3}}}+\frac{1}{3}{{\log }_{a}}b+2020 \) \( =\frac{4}{3}+\frac{1}{3}.2+2020=2020 \)

Ví dụ 13. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \( a\ne 1,a\ne \sqrt{b} \) và \( {{\log }_{a}}b=\sqrt{3} \). Giá trị của \( P={{\log }_{\frac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{\frac{b}{a}} \) là:

A. \( P=-5+3\sqrt{3} \)

B. \( P=-1+\sqrt{3} \)

C. \( P=-1-\sqrt{3} \)         

D. \( P=-5-3\sqrt{3} \)                    

Đáp án C

Cách 1:

\(P={{\log }_{\frac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{{{\log }_{a}}\sqrt{\frac{b}{a}}}{{{\log }_{a}}\frac{\sqrt{b}}{a}}\)\(=\frac{\frac{1}{2}\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}{{{\log }_{a}}\sqrt{b}-1}=\frac{\frac{1}{2}\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}{\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b-1}\)\(=\frac{\frac{1}{2}\left( \sqrt{3}-1 \right)}{\frac{1}{2}\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-2}=-1-\sqrt{3}\)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio chọn \( a=2 \), \( {{\log }_{a}}b=\sqrt{3}\Rightarrow b={{2}^{\sqrt{3}}} \). Bấm máy tính ta được \( P=-1-\sqrt{3} \).

Ví dụ 14. Tính giá trị của biểu thức \(P={{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( {{a}^{10}}{{b}^{2}} \right)+{{\log }_{\sqrt{a}}}\left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right)+{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}{{b}^{-2}}\) (với \(0<a\ne 1;0<b\ne 1\)).

A. P = 2

B. P = 1

C. \(P=\sqrt{3}\)               

D. \(P=\sqrt{2}\)

Đáp án B

Cách 1:

\(P={{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( {{a}^{10}}{{b}^{2}} \right)+{{\log }_{\sqrt{a}}}\left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right)+{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}{{b}^{-2}}\)

\(=\frac{1}{2}lo{{g}_{a}}\left( {{a}^{10}}{{b}^{2}} \right)+{{\log }_{{{a}^{\frac{1}{2}}}}}\left( \frac{a}{\sqrt{b}} \right)+{{\log }_{{{b}^{\frac{1}{3}}}}}{{b}^{-2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left( {{\log }_{a}}{{a}^{10}}+{{\log }_{a}}{{b}^{2}} \right)+2\left( {{\log }_{a}}a-{{\log }_{a}}\sqrt{b} \right)+3.(-2){{\log }_{b}}b\)

\(=\frac{1}{2}\left( 10+2{{\log }_{a}}b \right)+2\left( 1-\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b \right)-6\)

\(=5+{{\log }_{a}}b+2-{{\log }_{a}}b-6=1\)

Cách 2: Ta thấy các phương án đưa ra đều là các hằng số, như vậy ta dự đoán giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a, b

Khi đó, sử dụng máy tính Casio, ta tính giá trị của biểu thức khi a = 2, b = 2, ta được: \( P={{\log }_{4}}\left( {{2}^{10}}.4 \right)+{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)+{{\log }_{\sqrt[3]{2}}}{{2}^{-2}}=1 \)

Ví dụ 15. Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \( n=-{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}} \)

B. \( n={{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}} \)

C. \( n=2+{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}} \)

D. \( n=2-{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}} \)

Đáp án A

Cách 1:

Đặt \(-{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}}=m\).

Ta có: \({{\log }_{2}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}={{2}^{-m}}\)\(\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}={{2}^{{{2}^{-m}}}}\)

Ta thấy: \(\sqrt{2}={{2}^{\frac{1}{2}}}\), \(\sqrt{\sqrt{2}}={{2}^{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}\), …., \(\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}={{2}^{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}}={{2}^{{{2}^{-n}}}}\).

Do đó ta được: \({{2}^{-m}}={{2}^{-n}}\Leftrightarrow m=n\).

Vậy \(n=-{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}}\)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio, lấy n bất kì, chẳng hạn n = 3.

Nhập biểu thức \(-{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{2}}}}}_{\text{Căn bậc hai}}\) (có 3 dấu căn) vào máy tính ta thu được kết quả bằng \( -3 \).

Ví dụ 16. Cho \( x=2000! \). Giá trị của biểu thức \( A=\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2000}}x} \) là

A. 1

B. 2                                   

C. 4                                   

D. 8      

Đáp án A

Ta có: \(A=\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2000}}x}\)\(={{\log }_{x}}2+{{\log }_{x}}3+…+{{\log }_{x}}2000\)

\(={{\log }_{x}}\left( 1.2.3…2000 \right)\)\(={{\log }_{x}}2000!\)\(={{\log }_{x}}x=1\)

Ví dụ 17. Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức \( {{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{5}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}a.{{\log }_{5}}a \)?

A. 1

B. 3

C. 2                                   

D. 4

Đáp án B

\({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{5}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}a.{{\log }_{5}}a\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}a+{{\log }_{5}}2.{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}a.{{\log }_{5}}a\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}a\left( 1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2 \right)={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}5.\log _{5}^{2}a\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}a\left( 1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{3}}5.\log _{5}^{2}a \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\log }_{2}}a=0 \\& 1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{3}}5.\log _{5}^{2}a=0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=1 \\& \log _{5}^{2}a=\frac{1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2}{{{\log }_{3}}5} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=1 \\& {{\log }_{5}}a=\pm \sqrt{\frac{1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2}{{{\log }_{3}}5}} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=1 \\& a={{5}^{\pm \sqrt{\frac{1+{{\log }_{3}}2+{{\log }_{5}}2}{{{\log }_{3}}5}}}} \\\end{align} \right.\)

Ví dụ 18. Giá trị của biểu thức \( P=\ln \left( \tan {{1}^{0}} \right)+\ln \left( \tan {{2}^{0}} \right)+\ln \left( \tan {{3}^{0}} \right)+…+\ln \left( \tan {{89}^{0}} \right) \) là:

A. 0

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 4

Đáp án A

Ta có:

\( \cot \left( {{90}^{0}}-\alpha  \right)=\tan \alpha \)

\( P =\ln \left( \tan {{1}^{0}} \right)+\ln \left( \tan {{2}^{0}} \right)+\ln \left( \tan {{3}^{0}} \right)+…+\ln \left( \tan {{89}^{0}} \right) \)

\( =\ln \left( \tan {{1}^{0}}.\tan {{2}^{0}}.\tan {{3}^{0}}…\tan {{89}^{0}} \right) \)

\( =\ln \left( \tan {{1}^{0}}.\tan {{2}^{0}}.\tan {{3}^{0}}…\tan {{45}^{0}}.\cot {{44}^{0}}.\cot {{43}^{0}}…\cot {{1}^{0}} \right) \)

 \( =\ln \left( \tan {{45}^{0}} \right)=\ln 1=0 \) (Vì \( \tan \alpha .\cot \alpha =1 \))

Ví dụ 19. Giá trị của biểu thức \( P=\frac{1}{{{\log }_{2}}n!}+\frac{1}{{{\log }_{3}}n!}+…+\frac{1}{{{\log }_{n}}n!} \) là

A. P = 1

B. P = 0

C. P = n                           

D. \( P=\frac{1}{n} \)

Đáp án A.

Cách 1: Ta có:

\( P=\frac{1}{{{\log }_{2}}n!}+\frac{1}{{{\log }_{3}}n!}+…+\frac{1}{{{\log }_{n}}n!} \)

\( ={{\log }_{n!}}2+{{\log }_{n!}}3+…+{{\log }_{n!}}n\) 

\(={{\log }_{n!}}\left( 1.2.3…n \right)={{\log }_{n!}}\left( n! \right)=1 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio:

Ta có: \( P=\frac{1}{{{\log }_{2}}n!}+\frac{1}{{{\log }_{3}}n!}+…+\frac{1}{{{\log }_{n}}n!} \) \( =\sum\limits_{x=2}^{n}{\left( \frac{1}{{{\log }_{x}}n!} \right)} \)

Các bạn nhập biểu thức:

Sẽ thu được cùng một giá trị bằng 1 (ở đây ta chọn n = 20 và n = 30).

Ví dụ 20. Cho hàm số \( f(x)=\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \frac{2x}{1-x} \right) \). Tính tổng \( S=f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2}{2017} \right)+…+f\left( \frac{2016}{2017} \right) \).

A. S = 2016

B. S = 1008

C. S = 2017                     

D. S = 4032

Đáp án B.

Cách 1: Nhận xét: Ta có: \( \frac{1}{2017}+\frac{2016}{2017}=1 \), \( \frac{2}{2017}+\frac{2015}{2017}=1… \)

Viết lại tổng \( S=\left[ f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2016}{2017} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{2017} \right)+f\left( \frac{2015}{2017} \right) \right] \) \( +…+\left[ f\left( \frac{1008}{2017} \right)+f\left( \frac{1009}{2017} \right) \right] \)

 \( =\frac{2016}{2}\left[ f(x)+f(1-x) \right] \)

Vậy ta tính \(f(x)+f(1-x)$ $=\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \frac{2x}{1-x} \right)+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left[ \frac{2\left( x-1 \right)}{x} \right] \) \(= \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left[ \frac{4x\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)x} \right]=\frac{1}{2}{{\log }_{2}}4=1 \)

 \( \Rightarrow S=\frac{2016}{2}.1=1008 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Nhận xét: Ta thấy S có dạng

 \( S=f\left( \frac{1}{n} \right)+f\left( \frac{2}{n} \right)+…+f\left( \frac{n-1}{n} \right) \)
\( =\sum\limits_{x=1}^{n-1}{\left[ \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \frac{2.\frac{x}{n}}{1-\frac{x}{n}} \right) \right]} \)

Chọn n = 19 và nhập vào máy tính biểu thức:

Ta được S = 9

Từ đo ta thấy \( S=\frac{n-1}{2} \). Áp dụng vào bài với \( n=2017 \) ta được \( S=\frac{2017-1}{2}=1008 \).

Ví dụ 21. Cho \( a>0;b>0;a\ne 1;b\ne 1;n\in {{\mathbb{R}}^{*}};x\ne 1 \), một học sinh tính biểu thức:

 \( P=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{{{b}^{x}}}}a}+\frac{1}{{{\log }_{{{b}^{{{x}^{2}}}}}}a}+…+\frac{1}{{{\log }_{{{b}^{{{x}^{n}}}}}}a} \) theo các bước sau:

(I). \( P={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}{{b}^{x}}+{{\log }_{a}}{{b}^{{{x}^{2}}}}+…+{{\log }_{a}}{{b}^{{{x}^{n}}}} \)             

(II). \(P={{\log }_{a}}=\left( b.{{b}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}}}…{{b}^{{{x}^{n}}}} \right)\)

(III). \(P={{\log }_{a}}{{b}^{1+x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{n}}}}\)               

(IV). \(P=\frac{\left( n+1 \right)\left( {{x}^{n+1}}-1 \right)}{x-1}{{\log }_{a}}b\)

Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào?

A. (I)

B. (II)

C. (III)                              

D. (IV)

Đáp án D.

Dựa vào các công thức biến đổi hàm loagrit và công thức biến đổi hàm mũ ta dễ thấy bạn học sinh trên đã biến đổi đúng ở các bước số (I), (II), (III).

Vậy bạn học sinh đó đã biến đổi sai ở bước (IV).

Thật vậy ta có:

 \( {{S}_{n}}=1+x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{n}} \) là tổng của \( (n+1) \) số hạng đầu một cấp số nhân có số hạng đầu \( {{u}_{1}}=1 \) và công bội \( q=x \). Vậy áp dụng công thức tính tổng của \( (n+1) \) số hạng đầu một cấp số nhân ta có \( {{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( {{q}^{n+1}}-1 \right)}{q-1} \) \( =\frac{1\left( {{x}^{n+1}}-1 \right)}{x-1}=\frac{{{x}^{n+1}}-1}{x-1} \).

Vậy \( P=\frac{{{x}^{n+1}}-1}{x-1}{{\log }_{a}}b \) nên sai ở bước (IV)

Ví dụ 22. Cho \( m={{\log }_{a}}\sqrt{ab} \) với \( a,b>1 \) và \( P=\log _{a}^{2}b+54{{\log }_{b}}a \). Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là?

A. 2

B. 3                                   

C. 4                                   

D. 5

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng \(x +y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz} \), ta được:

 \( P=\log _{a}^{2}b+\frac{54}{{{\log }_{a}}b}\) \(=\log _{a}^{2}b+\frac{27}{{{\log }_{a}}b}+\frac{27}{{{\log }_{a}}b} \) \( \ge 3\sqrt[3]{\log _{a}^{2}b.\frac{27}{{{\log }_{a}}b}.\frac{27}{{{\log }_{a}}b}}=27 \)

Suy ra \( {{P}_{\min }}=27 \) khi \( \log _{a}^{2}b=\frac{27}{{{\log }_{a}}b} \) \( \Leftrightarrow \log _{a}^{3}b=27\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=3 \)

Khi đó \( m={{\log }_{a}}\sqrt{ab} \) \( =\frac{1}{2}\left( {{\log }_{a}}a+{{\log }_{a}}b \right)=\frac{1}{2}\left( 1+3 \right)=2 \)

Dạng 3. Biểu diễn một logarit theo các logarit cho trước

Ví dụ 23. Đặt \( a={{\log }_{2}}3 \). Hãy biểu diễn \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54} \) theo a.

A. \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}=\frac{3a+1}{2\left( a-2 \right)} \)

B. \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}=-\frac{3a+1}{2\left( a+2 \right)} \)

C. \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}=-\frac{3a+1}{a-2} \)

D. \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}=\frac{3a+1}{2\left( a+2 \right)} \)

Đáp án B                                     

Cách 1: Ta có: \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}=\frac{{{\log }_{2}}\sqrt{54}}{{{\log }_{2}}\frac{1}{12}} \) \( =\frac{{{\log }_{2}}{{\left( {{2.3}^{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}{{{\log }_{2}}{{\left( {{2}^{2}}.3 \right)}^{-1}}}=\frac{\frac{1}{2}\left( 1+3{{\log }_{2}}3 \right)}{-\left( 2+{{\log }_{2}}3 \right)} \) \( =-\frac{3a+1}{2\left( a+2 \right)} \)

Cách 2: Dùng Casio: Gán \( {{\log }_{2}}3\to A \) (bằng chức năng STO qua tổ hợp phím \( {{\log }_{2}}3+SHIFT+STO+A \), nhớ không bấm ALPHA)

Do các phương án chứa một trong hai biểu thức \( \frac{3a+1}{a-2} \) và \( \frac{3a+1}{a+2} \) nên ta bấm:

+ \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}:\frac{3a+1}{a-2} \) \( =0,5758858913\ne \frac{1}{2} \) và khác -1

+ \( {{\log }_{\frac{1}{12}}}\sqrt{54}:\frac{3a+1}{a+2}=-\frac{1}{2} \)

Ví dụ 24. Cho \( a={{\log }_{2}}m \) với \( m>0 \), \( m\ne 1 \) và \( A={{\log }_{m}}\left( 8m \right) \). Khi đó mối quan hệ giữa A và a là:

A. \( A=\frac{3+a}{a} \)

B. \( A=\left( 3+a \right)a \)

C. \( A=\frac{3-a}{a}  \)        

D. \( A=\left( 3-a \right)a \)

Đáp án A.

Ta có: \( A={{\log }_{m}}\left( 8m \right)=\frac{lo{{g}_{2}}\left( 8m \right)}{{{\log }_{2}}m} \) \(= \frac{3+{{\log }_{2}}m}{{{\log }_{2}}m}=\frac{3+a}{a} \)

Ví dụ 25. Đặt \( a={{\log }_{2}}3 \), \( b={{\log }_{5}}3 \). Hãy biểu diễn \( {{\log }_{6}}45 \) theo a và b.

A. \( {{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab} \)

B. \( {{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab} \)

C. \( {{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab+b} \)                             

D. \( {{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b} \)

Đáp án C

Cách 1:

Ta có: \(b={{\log }_{5}}3=\frac{{{\log }_{2}}3}{{{\log }_{2}}5}=\frac{a}{{{\log }_{2}}5}\) \(\Rightarrow {{\log }_{2}}5=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow {{\log }_{6}}45=\frac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}\) \(=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{3}^{2}}.5 \right)}{1+{{\log }_{2}}3}=\frac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}\) \(=\frac{2a+\frac{a}{b}}{1+a}=\frac{a+2ab}{ab+b}\)

Cách 2: Dùng Casio: Gán \( {{\log }_{2}}3\to A \) và \( {{\log }_{5}}3\to B \). Sau đó ta thử các phương án

+ \( {{\log }_{6}}45-\frac{A+2AB}{AB} \) \( =-1,340434733\ne 0 \) (loại A)

+ \( {{\log }_{6}}45-\frac{2{{A}^{2}}-2AB}{AB} \) \( =-0,5193174025\ne 0 \) (loại B)

+ \( {{\log }_{6}}45-\frac{A+2AB}{AB+B}=0 \)

Ví dụ 26. Đặt \( a={{\log }_{3}}2 \), \( b={{\log }_{3}}7 \). Hãy biểu diễn \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588} \) theo a và b.

A. \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}=\frac{a+2b+1}{3\left( 2a+b+1 \right)} \)

B. \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}=\frac{a+2b+1}{2a+b+1} \)

C. \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}=\frac{2a+2b+1}{2a+1} \)

D. \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}=\frac{2a+2b+1}{3\left( 2a+1 \right)} \)

Đáp án D

Cách 1:

Ta có: \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}=\frac{{{\log }_{3}}\sqrt[3]{588}}{{{\log }_{3}}12} \) \( =\frac{{{\log }_{3}}{{\left( {{2}^{2}}{{.3.7}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}{{{\log }_{3}}\left( {{2}^{2}}.3 \right)} \) \( =\frac{\frac{1}{3}\left( 2{{\log }_{3}}2+1+2{{\log }_{3}}7 \right)}{2{{\log }_{3}}2+1} \) \( =\frac{2a+2b+1}{3\left( 2a+1 \right)} \)

Cách 2: Dùng Casio: Gán \( {{\log }_{3}}2\to A \) và \( {{\log }_{3}}7\to B \)

Do trong các phương án chỉ xuất một trong hai phân tử \( \frac{a+2b+1}{2a+b+1} \) và \( \frac{2a+2b+1}{2a+1} \) nên ta thao tác như sau

+ \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}:\frac{A+2B+1}{2A+B+1} \) \( =0,6668502555\ne \frac{1}{3} \) và khác 1 (loại A, B)

+ \( {{\log }_{12}}\sqrt[3]{588}:\frac{2A+2B+1}{2A+1}=\frac{1}{3} \)

Ví dụ 27. Giả sử ta có hệ thức \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=18ab\text{ }\left( a,b>0 \right) \). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. \( 2{{\log }_{2}}\left| \frac{a-b}{2} \right|+2={{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b \)

B. \( 2{{\log }_{2}}\left( a-b \right)={{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b \)

C. \( 2{{\log }_{2}}\left( \frac{a-b}{4} \right)={{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b \)

D. \( 2{{\log }_{2}}\left| a-b \right|-4={{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b \)

Đáp án D.

Cách 1: Giả thiết \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=18ab\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=16ab\)

Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được: \({{\log }_{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( 16ab \right)\)

\(\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left| a-b \right|={{\log }_{2}}16+{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b\)

\(\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left| a-b \right|-4={{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b\)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio:

Cho \( a=2\Rightarrow {{b}^{2}}-36b+4=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& b=18+8\sqrt{5}\xrightarrow{SHIFT\text{ }STO}A \\& b=18-8\sqrt{5}\xrightarrow{SHIFT\text{ }STO}B \\\end{align} \right. \) (gán cho biến A, B)

Thử 4 phương án:

Phương án A: Nhập \( 2{{\log }_{2}}\left| \frac{X-Y}{2} \right|+2-\left( {{\log }_{2}}X+{{\log }_{2}}Y \right) \) \( \xrightarrow[\left\{ \begin{smallmatrix}X=2 \\Y=A\end{smallmatrix} \right.;\left\{ \begin{smallmatrix}X=2 \\Y=B\end{smallmatrix} \right.]{CALC}4\ne 0 \) (loại A)

Phương án B: Nhập \( 2{{\log }_{2}}\left( X-Y \right)-4-\left( {{\log }_{2}}X+{{\log }_{2}}Y \right) \) \( \xrightarrow[\left\{\begin{smallmatrix}X=2 \\Y=A\end{smallmatrix} \right.;\left\{ \begin{smallmatrix}X=2 \\Y=B\end{smallmatrix} \right.]{CALC}Math\text{ }ERROR \) (loại B)

Phương án C: Nhập \( 2{{\log }_{2}}\left( \frac{X-Y}{4} \right)-\left( {{\log }_{2}}X+{{\log }_{2}}Y \right) \) \( \xrightarrow[\left\{ \begin{smallmatrix}X=2 \\Y=A\end{smallmatrix} \right.;\left\{ \begin{smallmatrix}X=2 \\Y=B\end{smallmatrix} \right.]{CALC}Math\text{ }ERROR \) (loại C)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!