Home Toán học Bài 3.4 – Bài tập tính đồng biến, nghịch biến của Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Bài 3.4 – Bài tập tính đồng biến, nghịch biến của Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

by AdminTLH

Bài tập tính đồng biến, nghịch biến của Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R.

A.  \( y={{x}^{2}} \)

B.  \( y={{x}^{-2}} \)

C.  \( y=\sqrt[5]{x}  \)            

D.  \( y={{x}^{-\frac{2}{3}}} \)

Đáp án C

Loại A vì hàm số bậc 2 không thể đơn điệu trên  \( \mathbb{R} \).

Loại B, D vì hàm lũy thừa có số mũ nguyên âm và hữu tỷ không xác định trên cả tập  \( \mathbb{R} \) nên không thể đơn điệu trên  \( \mathbb{R} \).

Ví dụ 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên các khoảng xác định của nó:

A. \( y={{x}^{\frac{1}{5}}} \)

B.  \( y={{x}^{4}} \)

C.  \( y={{x}^{-\frac{1}{3}}}  \)                                  

D.  \( y={{x}^{-4}} \)

Đáp án C

Với  \( y={{x}^{\frac{1}{5}}}\Rightarrow {y}’=\frac{1}{5}{{x}^{-\frac{4}{5}}}>0,\forall x>0 \)  \( \Rightarrow \)  Hàm số đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \)  \( \Rightarrow \)  Loại A

Với  \( y={{x}^{4}} \)  \( \Rightarrow \)  Hàm số bậc 4 không thể đơn điệu trên \( \mathbb{R} \)  \( \Rightarrow \) Loại B

Với  \( y=-{{x}^{4}}\Rightarrow {y}’=-4{{x}^{3}} \), với  \( x<0\Rightarrow {y}’>0\Rightarrow \)  Hàm số đồng biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right)\Rightarrow \)  Loại D.

Với  \( y={{x}^{-\frac{1}{3}}}\Rightarrow {y}’=-\frac{1}{3}{{x}^{-\frac{4}{3}}}<0,\forall x>0 \) \( \Rightarrow \)  Hàm số nghịch biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \)

Ví dụ 3. Hàm số  \( y={{x}^{2}}{{e}^{x}} \) nghịch biến trên khoảng

A.  \( \left( -\infty ;-2 \right) \)

B.  \( \left( -2;0 \right) \)

C.  \( \left( 1;+\infty  \right) \)

D.  \( \left( -\infty ;-1 \right) \)                                 

Đáp án B

Ta có: \({y}’={{\left( {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}=2x.{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}=x(x+2){{e}^{x}}\)

Xét \({y}'<0\Leftrightarrow x(x+2){{e}^{x}}<0\Leftrightarrow x(x+2)<0\Leftrightarrow -2<x<0\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -2;0 \right)\)

Ví dụ 4. Cho hàm số  \( y=x-\ln \left( 1+x \right) \). Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

A. Hàm số có tập xác định là  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \)

B. Hàm số đồng biến trên  \( \left( -1;+\infty \right) \)

C. Hàm số nghịch biến trên  \( \left( 0;+\infty \right) \)

D. Hàm số nghịch biến trên  \( \left( -1;+\infty \right) \) và đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty \right) \)

Đáp án D

Điều kiện: \(1+x>0\Leftrightarrow x>-1\) \(\Rightarrow D=\left( -1;+\infty  \right)\) (loại A)

Ta có: \({y}’=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\)

\({y}’=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên:

Ví dụ 5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A.  \( f(x)=2{{x}^{4}}-1 \)

B.  \( f(x)=\ln x \)

C.  \( f(x)={{e}^{-x}}+\frac{1}{x} \)

D.  \( f(x)=\frac{2x+3}{x+1} \)

Đáp án B

Với A, D ta có: \({f}'(x)=8{{x}^{3}}\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) và \({f}'(x)=\frac{-1}{{{(x+1)}^{2}}}\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty  \right)\). Suy ra loại A, D.

Với B ta có: \({f}'(x)=\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x>0\), suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!