Home Toán học Bài 3.3 – Bài tập tính đạo hàm của hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit

Bài 3.3 – Bài tập tính đạo hàm của hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit

by AdminTLH

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit

Ví dụ 1. Cho hàm số  \( f(x)=\sqrt[6]{4x-{{x}^{2}}} \). Đạo hàm \( f'(x) \) có tập xác định là:

A.  \( \mathbb{R}\backslash \{0;4\}\)

B. \( \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right) \)

C.  \( [0;4]  \)                           

D.  \( (0;4) \)

Đáp án C

Điều kiện xác định của hàm số là  \( 4x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le 4 \)

Vậy tập xác định của hàm số là  \( D=\left[ 0;4 \right] \)

Ví dụ 2. Hàm số  \( y=\sqrt[3]{a+b{{x}^{3}}} \) có đạo hàm là:

A.  \( \frac{bx}{3\sqrt[3]{a+b{{x}^{3}}}} \)

B.  \( 3b{{x}^{2}}\sqrt[3]{a+b{{x}^{3}}} \)

C.  \( \frac{b{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{2}}}} \)           

D.  \( \frac{b{{x}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{2}}}} \)

Đáp án C

Ta có: \(y=\sqrt[3]{a+b{{x}^{3}}}={{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}\)

\(\Rightarrow y’=\frac{1}{3}{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{\frac{1}{3}-1}}\)

\(=\frac{1}{3}.3b{{x}^{2}}.{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{b{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{{\left( a+b{{x}^{3}} \right)}^{2}}}}\)

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số  \( y=\frac{1}{x.\sqrt[4]{x}} \) là:

A. \(y’=-\frac{5}{4{{x}^{2}}\sqrt[4]{x}}\)

B.  \( y’=\frac{1}{{{x}^{2}}.\sqrt[4]{x}} \)

C.  \( y’=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x} \)                                    

D.  \( y’=-\frac{1}{4\sqrt[4]{{{x}^{5}}}}  \)                          

Đáp án A

Ta có:  \( y=\frac{1}{x.\sqrt[4]{x}}=\frac{1}{x.{{x}^{\frac{1}{4}}}}=\frac{1}{{{x}^{\frac{5}{4}}}}={{x}^{-\frac{5}{4}}} \)

 \( \Rightarrow {y}’=-\frac{5}{4}{{x}^{-\frac{5}{4}-1}}=-\frac{5}{4}{{x}^{-\frac{9}{4}}}\)

\(=-\frac{5}{4\sqrt[4]{{{x}^{9}}}}=-\frac{5}{4\sqrt[4]{{{x}^{8}}.x}}=-\frac{5}{4{{x}^{2}}\sqrt[4]{x}} \)

Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}}}\) là:

A. \(y’=\sqrt[6]{x}\)

B. \(y’=\frac{7}{6}\sqrt[6]{x}\)

C. \(y’=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}\)                                      

D. \(y’=\frac{6}{7\sqrt[7]{x}}\)

Đáp án B

Ta có: \(y=\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.\sqrt[3.2]{{{x}^{3}}}\)

\(={{x}^{\frac{2}{3}}}.{{x}^{\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{7}{6}}}\)

\(\Rightarrow {y}’=\frac{7}{6}.{{x}^{\frac{1}{6}}}=\frac{7}{6}.\sqrt[6]{x}\)

Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số \( y=\sqrt[5]{{{x}^{3}}+1} \) là:

A. \(y’=\frac{3{{x}^{2}}}{5\sqrt[5]{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{6}}}}\)

B. \(y’=\frac{3{{x}^{3}}}{2\sqrt[5]{{{x}^{3}}+1}}\)

C. \(y’=\frac{3{{x}^{2}}}{5\sqrt[5]{{{x}^{3}}+1}}\)                                     

D. \(y’=\frac{3{{x}^{2}}}{5\sqrt[5]{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}}\)

Đáp án D

Ta có: \(y=\sqrt[5]{{{x}^{3}}+1}={{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{\frac{1}{5}}}\)

\(\Rightarrow {y}’=\frac{1}{5}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{\prime }}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{\frac{1}{5}-1}}\)

\(=\frac{1}{5}.3{{x}^{2}}.{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{-\frac{4}{5}}}=\frac{3{{x}^{2}}}{5\sqrt[5]{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}}\)

Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{4}}}} \) tại điểm x = 1 là:

A.  \( y'(1)=-\frac{5}{3} \)

B.  \( y'(1)=\frac{4}{3} \)

C.  \( y'(1)=1  \)                        

D.  \( y'(1)=-1 \)

Đáp án B

Cách 1:

Ta có:  \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{-4}}}}=\frac{1}{{{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{4}{3}}}}={{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{4}{3}}} \)

 \( \Rightarrow {y}’=\frac{4}{3}{{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}.{{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{4}{3}-1}}\)

\(=\frac{4}{3}\left( 1-2x \right){{\left( 1+x-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{4\left( 1-2x \right)}{3}\sqrt[3]{1+x-{{x}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow {y}'(0)=\frac{4}{3} \)

Cách 2: dùng máy tính Casio nhập: \(\frac{d}{dx}{{\left. \left( \frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1+X-{{X}^{2}} \right)}^{4}}}} \right) \right|}_{X=0}}\) Rồi ấn “=” ta được kết quả \(\frac{4}{3}\)

Ví dụ 7. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt[9]{\frac{x-1}{x+1}}\). Kết quả \(f'(0)\) là:

A. \(f'(0)=0,2\)

B. \(f'(0)=\frac{2}{9}\)

C. \(f'(0)=\frac{1}{4}\)     

D. \(f'(0)=0,22\)

Đáp án B

Cách 1: Ta có: \(f(x)=\sqrt[9]{\frac{x-1}{x+1}}={{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{\frac{1}{9}}}\)

\(\Rightarrow {f}'(x)=\frac{1}{9}{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{\prime }}.{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{\frac{1}{9}-1}}\)

\(=\frac{1}{9}\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{-\frac{8}{9}}}=\frac{2}{9{{\left( x+1 \right)}^{2}}\sqrt[9]{{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{8}}}}\)

\(\Rightarrow {f}'(0)=\frac{2}{9}\)

Cách 2: Dùng máy tính Casio nhập: \(\frac{d}{dx}{{\left. \left( \sqrt[9]{\frac{X-1}{X+1}} \right) \right|}_{X=0}}\) rồi ấn “=” ta được kết quả \(\frac{2}{9}\)

Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số \(y={{3}^{{{x}^{2}}-3x}}\) là:

A. \(y’=\left( {{x}^{2}}-3x \right){{.3}^{{{x}^{2}}-3x}}\)

B. \(y’={{3}^{{{x}^{2}}-3x}}\ln 3\)

C. \(y’=\left( 2x-3 \right){{.3}^{{{x}^{2}}-3x}}\)                              

D. \(y’=\left( 2x-3 \right){{.3}^{{{x}^{2}}-3x}}\ln 3\)

Đáp án D

Áp dụng công thức \({{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'{{a}^{u}}\ln a\), suy ra: \({y}’={{\left( {{3}^{{{x}^{2}}-3x}} \right)}^{\prime }}=(2x-3){{.3}^{{{x}^{2}}-3x}}\ln 3\)

Ví dụ 9. (Đề thử nghiệm – 2017) Tính đạo hàm của hàm số  \( y=\frac{x+1}{{{4}^{x}}} \).

 A. \( y’=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}} \)

B.  \( y’=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}} \)

C.  \( y’=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}} \)                           

D.  \( y’=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}} \)

Đáp án A

Ta có: \({y}’={{\left( \frac{x+1}{{{4}^{x}}} \right)}^{\prime }}=\frac{(x+1{)}'{{.4}^{x}}-(x+1).({{4}^{x}}{)}’}{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{2}}}\)

\(=\frac{{{4}^{x}}-(x+1){{.4}^{x}}\ln 4}{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{2}}}=\frac{1-(x+1)\ln 4}{{{4}^{x}}}=\frac{1-2(x+1)\ln 2}{{{2}^{2x}}}\)

Ví dụ 10. Đạo hàm  \( f’(x) \) của hàm số \(f(x)={{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}}\) là?

A. \(f'(x)={{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}}\)

B. \(f'(x)=\frac{2x+1}{x-1}{{e}^{\frac{x+2}{x-1}}}\)

C. \(f'(x)=\frac{2x+1}{x-1}{{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}}\)                                 

D. \(f'(x)=-\frac{3{{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Đáp án D

Áp dụng công thức  \( {{\left( {{e}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'{{e}^{u}} \), suy ra:  \( {f}'(x)={{\left( \frac{2x+1}{x-1} \right)}^{\prime }}{{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}}=\frac{-3}{{{(x-1)}^{2}}}{{e}^{\frac{2x+1}{x-1}}} \)

Ví dụ 11. Cho hàm số  \( f(x)=\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}} \). Nghiệm của phương trình  \( {f}'(x)=0 \) là

A. x = 0

B. x = 1

C. x = 2                            

D. x = e

Đáp án B

Cách 1: Ta có  \( {f}'(x)=\frac{\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2\sqrt{x}}.\sqrt{x}-\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2\sqrt{x}}}{x} \)

 \( =\frac{\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2\sqrt{x}}\left( \sqrt{x}-1 \right)}{x}=\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2x\sqrt{x}}\left( \sqrt{x}-1 \right) \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1 \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra 4 phương án

Nhập  \( \frac{d}{dx}{{\left. \left( \frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}} \right) \right|}_{x=0}} \) sau đó thay x = 0 bằng  \( x=1;x=2;x=e \) thì tại x = 1 ta có  \(\frac{d}{dx}{{\left. \left( \frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}} \right) \right|}_{x=1}}=0 \)

Ví dụ 12. Cho  \( f(x)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right) \). Phương trình  \( f'(x)=2f(x) \) có nghiệm là

A. \( x = 1 \)

B.  \( x=-2 \)

C.  \( x=-2 \) hoặc  \( x = 1 \)       

D.  \( x=-1 \) hoặc  \( x = 2 \)

Đáp án C

Ta có: \({f}'(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}+3x+1)+{{e}^{x}}(2x+3)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\)

Khi đó \({f}'(x)=2f(x)\Leftrightarrow {{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)=2{{e}^{x}}({{x}^{2}}+3x+1)\)

\(\Leftrightarrow {{e}^{x}}({{x}^{2}}+x-2)=0\) \(\overset{{{e}^{x}}>0}{\longleftrightarrow}{{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-2 \\\end{align} \right.\)

Ví dụ 13. Biểu thức  \( \left( 24x+12 \right){{.2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 2 \) là đạo hàm của hàm số nào sau đây?

A.  \( y={{2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \)

B.  \( y={{8}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \)

C. \( y={{2}^{{{x}^{2}}+3x+1}} \)                          

D.  \( y={{8}^{{{x}^{2}}+3x+1}} \)

Đáp án D

Cách 1: Ta có:  \( {{\left( {{2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \right)}^{\prime }}=(6x+3){{.2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 2 \);

 \( {{\left( {{8}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \right)}^{\prime }}=(6x+3){{.8}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 8=(18x+9){{.8}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 2 \);

 \( {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}+x+1}} \right)}^{\prime }}=(2x+1){{.2}^{{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2 \);

 \( {{\left( {{8}^{{{x}^{2}}+x+1}} \right)}^{\prime }}=(2x+1){{.8}^{{{x}^{2}}+x+1}}\ln 8 \) \( =(6x+3){{.2}^{3{{x}^{2}}+3x+3}}\ln 2=(24x+12){{.2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 2 \)

Cách 2: Tại x = 0 ta có giá trị của  \( (24x+12){{.2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}}\ln 2 \) là  \( 24\ln 2 \).

Ta đi tính đạo hàm của các hàm tại x = 0 và sử dụng máy tính Casio để làm điều này: (Nhập 1 lần và chỉnh số cho các lần sau):

Cụ thể:

\(\frac{d}{dx}{{\left. \left( {{2}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \right) \right|}_{x=0}}-24\ln 2\approx -12,48\ne 0\) \(\Rightarrow \) Loại A;

\(\frac{d}{dx}{{\left. \left( {{8}^{3{{x}^{2}}+3x+1}} \right) \right|}_{x=0}}-24\ln 2\approx 33,27\ne 0\) \(\Rightarrow \) Loại B;

\(\frac{d}{dx}{{\left. \left( {{2}^{{{x}^{2}}+x+1}} \right) \right|}_{x=0}}-24\ln 2\approx 15,25\ne 0\) \(\Rightarrow \) Loại C;

\(\frac{d}{dx}{{\left. \left( {{8}^{{{x}^{2}}+x+1}} \right) \right|}_{x=0}}-24\ln 2=0\) \(\Rightarrow \) Nhận đáp án D

Ví dụ 14. (THPTQG – 2017 – 102 – 28) Tính đạo hàm của hàm số  \( y={{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right) \).

A.  \( {y}’=\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\ln 2} \)

B.  \( {y}’=\frac{2}{\left( 2x+1 \right)\ln 2} \)

C.  \( {y}’=\frac{2}{2x+1} \)                                         

D.  \( y’=\frac{1}{2x+1} \)

Đáp án B

Áp dụng công thức \(\left( {{\log }_{a}}u \right)=\frac{u’}{u\ln a}\), suy ra: \({y}’={{\left( {{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}\)

Ví dụ 15. (Đề tham khảo – 2017) Tìm đạo hàm của hàm số  \( y=\log x \).

A.  \( y’=\frac{1}{x} \)

B.  \( y’=\frac{\ln 10}{x} \)

C. \( y’=\frac{1}{x\ln 10} \)    

D.  \( y’=\frac{1}{10\ln x} \)

Đáp án C

Áp dụng công thức \(\left( {{\log }_{a}}u \right)=\frac{u’}{u\ln a}\), suy ra: \({y}’={{\left( \log x \right)}^{\prime }}={{\left( {{\log }_{10}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln 10}\)

Ví dụ 16. Tính đạo hàm của hàm số  \( y=\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \).

A.  \( y’=\frac{1}{{{x}^{2}}-x+1} \)

B.  \( y’=\frac{2x-1}{\ln 2.\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \)

C.  \( y’=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x+1} \)

D.  \( y’=\frac{2x-1}{\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \)

Đáp án C

Áp dụng công thức  \( \left( \ln u \right)=\frac{{{u}’}}{u} \), suy ra:  \( {y}’={{\left( \ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x+1} \)

Ví dụ 17. Đạo hàm của hàm số  \( y={{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+1 \right) \) là

A.  \( y’=\frac{6x}{3{{x}^{2}}+1} \)

B.  \( y’=\frac{6x\ln 2}{3{{x}^{2}}+1} \)

C.  \( y’=\frac{6x}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln 2}  \) 

D.  \( y’=\frac{1}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln 2} \)

Đáp án C

Áp dụng công thức \(\left( {{\log }_{a}}u \right)=\frac{u’}{u\ln a}\), suy ra: \({y}’=\frac{{{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln 2}=\frac{6x}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln 2}\)

Ví dụ 18.

Đạo hàm cấp hai  \( y’’ \) của hàm số  \( y={{\ln }^{2}}x \) là:

A.  \( y”=\frac{2}{x} \)

B. \( y”=\frac{2-2\ln x}{{{x}^{2}}} \)

C.  \( y”=\frac{2}{{{x}^{2}}} \)                                     

D.  \( y”=\frac{2+2\ln x}{{{x}^{2}}} \)

Đáp án B

Ta có:  \( {y}’={{\left( {{\ln }^{2}}x \right)}^{\prime }}=\frac{2\ln x}{x} \)

 \( \Rightarrow {y}”=\frac{\frac{2}{x}.x-2\ln x}{{{x}^{2}}}=\frac{2-2\ln x}{{{x}^{2}}} \)

Ví dụ 19. Đạo hàm cấp hai  \( y’’ \) của hàm số  \( y=\ln \left( 5x-1 \right) \) là

A. \( y”=5\ln \left( 5x-1 \right) \)

B.  \( y”=-\frac{1}{{{\left( 5x-1 \right)}^{2}}} \)

C.  \( y”=-\frac{25}{{{\left( 5x-1 \right)}^{2}}} \)    

D.  \( y”=\frac{5}{{{\left( 5x-1 \right)}^{2}}} \)

Đáp án C

Ta có:  \( {y}’={{\left( \ln \left( 5x-1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{5}{5x-1} \)

 \( \Rightarrow {y}”=-\frac{25}{{{(5x-1)}^{2}}} \)

Ví dụ 20. Cho hàm số y = xlnx, đạo hàm cấp hai tại x = e là y’’(e) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. e

B. 2

C.  \( \frac{1}{e} \)            

D. 1

Đáp án C

Ta có:  \( y’=\ln x+x.\frac{1}{x}=1+\ln x \)

 \( \Rightarrow {y}”=\frac{1}{x}\Rightarrow {y}”(e)=\frac{1}{e} \)

Ví dụ 21. Đạo hàm của hàm số  \( y={{x}^{2}}\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1} \) là

A.  \( y’=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1} \)

B.  \( y’=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \)

C.  \( y’=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1} \)

D.  \( y’=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \)

Đáp án C

Ta có:  \( {y}’=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}+{{x}^{2}}.\frac{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \)

 \(=2x\ln \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}\)

Ví dụ 22. Cho hàm số  \( y=\ln \frac{1}{1+x} \). Hệ thức nào sau đây đúng?

A.  \( xy’+1={{e}^{x}} \)

B.  \( yy’+1={{e}^{x}} \)

C.  \( xy’+1={{e}^{y}}  \)  

D.  \( xy’-1={{e}^{y}} \)

Đáp án C

Ta có: \( {y}’=\frac{{{\left( \frac{1}{1+x} \right)}^{\prime }}}{\frac{1}{1+x}}\) \( =\frac{-1}{{{(1+x)}^{2}}.\frac{1}{1+x}}=-\frac{1}{1+x} \)

\(\Rightarrow (x+1){y}’=-1\Leftrightarrow x{y}’+1=-{y}’\)\(=\frac{1}{1+x}={{e}^{\ln \frac{1}{1+x}}}={{e}^{y}}\)

Vậy  \( x{y}’+1={{e}^{y}} \)

Ví dụ 23. Cho hàm số  \( y=\ln \left( 4x+3 \right) \). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.  \( 4y’+\left( 4x+3 \right)y”=0 \)

B.  \( 4y’+3y”=0 \)

C.  \( y+4y’-\left( 4x+3 \right)y”=0  \)                           

D.  \( 4y’+4y”=0 \)

Đáp án A

Ta có:  \( {y}’=\frac{4}{4x+3}\), \( {y}”=\frac{-16}{{{(4x+3)}^{2}}} \)  \( \Rightarrow m{y}’+n{y}”\ne 0,\forall m,n\ne 0 \)  \( \Rightarrow  \) Loại B, D.

Do đó đáp án đúng lúc này chỉ có thể là A hoặc C nên ta chọn phướng an 1A để thử.

Ta có:  \( 4y’+\left( 4x+3 \right)y”=4.\frac{4}{4x+3}+(4x+3).\frac{-16}{{{(4x+3)}^{2}}} \)  \( =\frac{16-16}{4x+3}=0 \)

 \( \Rightarrow 4y’+\left( 4x+3 \right)y”=0 \)

Ví dụ 24. (Đề tham khảo – 2017) Cho hàm số  \( y=\frac{\ln x}{x} \), mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.  \( 2y’+xy”=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

B.  \( y’+xy”=\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

C.  \( y’+xy”=-\frac{1}{{{x}^{2}}}  \)    

D.  \( 2y’+xy”=\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

Đáp án A

Cách 1: Ta có:  \( {y}’=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}} \)  \( \Rightarrow {y}”=\frac{-\frac{1}{x}.{{x}^{2}}-2x(1-\ln x)}{{{x}^{4}}}=\frac{-3+2\ln x}{{{x}^{3}}} \)

Ta xét vế trái đẳng thức A, có:  \( 2{y}’+x{y}” \)  \( =2.\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}+x.\frac{-3+2\ln x}{{{x}^{3}}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

Cách 2: Ta có:  \( y=\frac{\ln x}{x}\Leftrightarrow xy=\ln x \)

 \( \Rightarrow y+x{y}’=\frac{1}{x} \)

 \( \Rightarrow {y}’+{y}’+x{y}”=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \)  \( \Leftrightarrow 2{y}’+x{y}”=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

Ví dụ 25. Cho hàm số  \( f(x)=\ln \left( {{x}^{2}}+2x \right) \). Khi đó giá trị của đạo hàm cấp hai  \( f”(1) \) bằng bao nhiêu?

A.  \( f”(1)=-\frac{10}{9} \)

B.  \( f”(1)=\frac{4}{3} \)

C. \( f”(1)=\ln 3 \)

D.  \( f”(1)=-\frac{4}{9} \)

Đáp án A

Cách 1: Ta có:  \({f}'(x)=\frac{2x+2}{{{x}^{2}}+2x} \)

\( \Rightarrow {f}”(x)=\frac{-2{{x}^{2}}-4x-4}{{{({{x}^{2}}+2x)}^{2}}}\) \(\Rightarrow {f}”(1)=-\frac{10}{9} \)

Cách 2: Sau khi tính được  \( {f}'(x)=\frac{2x+2}{{{x}^{2}}+2x} \), ta sử dụng Casio để tính:

 \( {f}”(1)=\frac{d}{dx}{{\left. \left( \frac{2x+2}{{{x}^{2}}+2x} \right) \right|}_{x=1}}=-\frac{10}{9} \)

Ví dụ 26. Cho hàm số \(f(x)=x+\ln \left( x-5 \right),\text{ }g(x)=\ln \left( x-1 \right)\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x)>g'(x)\) là

A. \(S=\mathbb{R}\)

B. \(S=\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)

C. \(S= \emptyset \)             

D. \(S=\left( 5;+\infty  \right)\)

Đáp án D

Tập xác định:  \( D=\left( 5;+\infty  \right) \). Ta có:  \( {f}'(x)=1+\frac{1}{x-5}=\frac{x-4}{x-5} \);  \( {g}'(x)=\frac{1}{x-1} \)

 \( {f}'(x)>{g}'(x)\Leftrightarrow \frac{x-4}{x-5}>\frac{1}{x-1} \)

 \( \overset{x>5}{\longleftrightarrow}(x-4)(x-1)>x-5  \) \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9>0 \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}>0,\forall x>5 \)

Suy ra bất phương trình  \( {f}'(x)>{g}'(x) \) có nghiệm  \( \forall x\in D=\left( 5;+\infty  \right) \).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  \( S=\left( 5;+\infty  \right) \)

Ví dụ 27. Hàm số \(y=x\ln \left| x \right|\) có đạo hàm là

A. \(y’=\ln \left| x \right|\)

B. \(y’=\frac{1}{x}\)

C. \(y’=1+ln\left| x \right|\)

D. \(y’=1+\ln x\)

Đáp án C

Ta có: \({{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \ln \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}}{\sqrt{{{x}^{2}}}}\)\(=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}}.\sqrt{{{x}^{2}}}}=\frac{x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\)

Do đó: \({y}’={{\left( x\ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}=\ln \left| x \right|+x{{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}\) \(=\ln \left| x \right|+x.\frac{1}{x}=1+\ln \left| x \right|\)

Ví dụ 28. Cho hàm số  \( f(x)=m\sqrt{x}+{{e}^{x}}\ln x \). Gọi m = mO là giá trị thỏa mãn  \( f'(1)=1 \). Khi đó mO gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. \( -\frac{7}{2} \)

B.  \( -\frac{1}{2}   \)           

C.  \( -3 \)              

D.  \( -1 \)

Đáp án A

Ta có: \({f}'(x)=\frac{m}{2\sqrt{x}}+{{e}^{x}}\ln x+\frac{{{e}^{x}}}{x}\) \(\Rightarrow {f}'(1)=\frac{m}{2}+e\)

Suy ra: \({f}'(1)=1\Leftrightarrow \frac{{{m}_{0}}}{2}+e=1\)\(\Leftrightarrow {{m}_{0}}=2-2e\approx -3,44\)

So sánh với 4 phương án ta thấy \(-\frac{7}{2}\) là giá trị gần m0 nhất

Ví dụ 29. Cho hàm số  \( f(x)=\sqrt[3]{x}+m{{.3}^{x}}\ln x \). Gọi m = mO là giá trị thỏa mãn  \( f'(1)=\frac{19}{3} \). Khi đó mO gần giá trị nào nhất, trong các giá trị sau?

A. 0

B. 3

C. 6                                   

D. 8

Đáp án B

Ta có:  \({f}'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+m\left( {{3}^{x}}\ln 3.\ln x+\frac{{{3}^{x}}}{x} \right) \)  \( \Rightarrow {f}'(1)=\frac{1}{3}+3m \)

Khi đó:  \( {f}'(1)=\frac{19}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{3}+3{{m}_{0}}=\frac{19}{3} \)  \( \Leftrightarrow {{m}_{0}}=2 \)

Đối chiếu với bốn phương án thì 3 là giá trị gần  \( {{m}_{0}}=2 \) nhất

Ví dụ 30. Cho hàm số  \( f(x)={{x}^{3}}{{\ln }^{2}}x \). Giá trị của  \( f'(e)+f”(e) \) là

A.  \( 5{{e}^{2}} \)

B.  \( 15e \)

C.  \( 6e + 6  \)           

D.  \( 5{{e}^{2}}+18e \)

Đáp án D

Cách 1: Ta có:  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+2{{x}^{3}}.\frac{1}{x}.\ln x \)  \( =3{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+2{{x}^{2}}\ln x \)

 \( \Rightarrow {f}”(x)=6x{{\ln }^{2}}x+6{{x}^{2}}.\frac{1}{x}.\ln x+4x\ln x+2x \)  \( =6x{{\ln }^{2}}x+10x\ln x+2x \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {f}'(e)={{e}^{2}}(3+2)=5{{e}^{2}} \\& {f}”(e)=6e+10e+2e=18e \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow {f}'(e)+{f}”(e)=5{{e}^{2}}+18e \)

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Sử dụng chức năng tính vi phân \(\frac{d}{dx}\). Ở bài tập này yêu cầu tính đạo hàm cấp hai \({f}”(x)\) nên các bạn vẫn cần phải tính được \({f}'(x)\). Sau khi tính được \({f}'(x)=3{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+2{{x}^{2}}\ln x\) các bạn dễ dàng có được \({f}'(e)=5{{e}^{2}}\).

 Đến đây các bạn hoàn toàn có thể chọn luôn Đáp án D nếu không còn nhiều thời gian, còn nều muôn chắc chắc các bạn sử dụng máy tính bấm kết quả của \({f}”(e)\) như sau: \(\frac{d}{dx}{{\left. \left( 3{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+2{{x}^{2}}\ln x \right) \right|}_{x=e}}\) \(\approx 48,93=18e\) (thực ra chỉ cần khác 0 để loại A)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!