Home Toán học Bài tập Tìm m để hàm số bậc ba đạt cực trị tại xO

Bài tập Tìm m để hàm số bậc ba đạt cực trị tại xO

by AdminTLH

A. Tóm tắt lý thuyết Tìm m để hàm số bậc ba đạt cực trị tại xO

B. Bài tập Tìm m để hàm số bậc ba đạt cực trị tại xO

Ví dụ 1. (THPTQG  – 2017 – 103) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3.

A. \( m=-1 \)

B.  \( m=-7 \)                    

C. m = 5                          

D. m = 1

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4 \);  \( {y}”=2x-2m  \).

Để hàm số đạt cực đại tại x – 3 khi và chỉ khi: \( \left\{ \begin{align}& {y}'(3)=0 \\ & {y}”(3)<0 \\ \end{align} \right.  \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 9-6m+{{m}^{2}}-4=0 \\ & 6-2m<0 \\\end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m+5=0 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m=1  \\ m=5 \end{array}\right.  \\ m>3 \end{cases} \Leftrightarrow m=5\)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số \( y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+mx+1 \) đạt cực tiểu tại x = 1.

A. không tồn tại m.

B. \( m=\pm 1 \)             

C. m = 1                          

D.  \( m\in \left\{ 1;2 \right\} \)

Đáp án C.

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {y}'(1)=0 \\& {y}”(1)>0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3-4m+m=0 \\  & 6-4m>0 \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=1 \\ & m<\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=1\)

Thử lại với m = 1, ta có:  \( y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1 \);  \( {y}’=3{{x}^{2}}-4x+1 \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1 \) đạt cực tiểu tại x = 2.

A. m = 0

B. m > 4                           

C.  \( 0\le m<4 \)              

D.  \( 0<m\le 4 \)

Đáp án A.

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x+m  \);  \( {y}”=6x-6 \)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {y}'(2)=0 \\ & {y}”(2)>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=0 \\ & 6>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=0 \)

Ví dụ 4. Tập hợp các số thực m để hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-m  \) đạt cực tiểu tại x = 1 là:

A. {1}

B. {-1}

C.  \( \emptyset  \)            

D. \mathbb{R}

Đáp án C.

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx+m+2 \)

 \( {y}”=6x-6m  \)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi  \( \left\{ \begin{align}& {y}'(1)=0 \\  & {y}”(1)>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -5m+5=0 \\  & 6-6m>0 \\ \end{align} \right.  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m=1 \\ & m<1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow m\in\emptyset \)  

Ví dụ 5. Có bao nhiêu số thực m để hàm số \( y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1 \) đạt cực đại tại x = 1.

A. 0

B. 2

C. 1                                   

D. 3

Đáp án C.

 \( {y}’={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1 \)

 \( {y}”=2x-2m  \)

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên ta có:  \( \left\{ \begin{align}& {y}'(1)=0 \\  & {y}”(1)=0 \\ \end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-3m+2=0 \\ & 2-2m<0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m=1  \\ m=2  \end{array}\right.  \\ m>1 \end{cases} \)\( \Leftrightarrow m=2 \)

Thử lại với  \( m=2 \) ta có:  \( {y}”=2x-4\Rightarrow {y}”(1)=-2<0 \)

Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!