Home Toán học Bài tập Thể tích khối lăng trụ xiên

Bài tập Thể tích khối lăng trụ xiên

by AdminTLH

A. Phương pháp giải Bài tập Thể tích khối lăng trụ xiên

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy góc 60O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)

B.  \( \frac{3{{a}^{3}}}{8} \) 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)                        

D.  \( \frac{{{a}^{3}}}{8} \)

Đáp án B.

Kẻ AH’  \( \bot  \) (ABC)  \( \Rightarrow \widehat{\left( A’A,(ABC) \right)}=\widehat{A’AH}={{60}^{O}} \).

Xét \(\Delta AHA’\): \(\sin {{60}^{O}}=\frac{A’H}{AA’}\Leftrightarrow A’H=AA’.\sin {{60}^{O}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’:  \( V={{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3{{a}^{3}}}{8} \)

Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết A’A = A’B = A’C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’?

A. \( \frac{3{{a}^{3}}}{4} \)

B.  \( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4} \)                                 

C.  \( \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}}{4} \)

Đáp án B.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.

Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A’A = A’B = A’C = a nên A’.ABC là tứ diện đều cạnh a  \( \Rightarrow A’H\bot (ABC) \) hay A’H là đường cao của khối chóp A’.ABC.

Xét tam giác vuông A’HA, ta có:  \( A’H=\sqrt{A'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \)

Diện tích tam giác ABC là  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a.a.\sin {{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \)

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,  \( AC=2\sqrt{2} \), biết góc giữa AC’ và (ABC) bằng 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( V=\frac{8}{3} \)

B.  \( V=\frac{16}{3} \)   

C.  \( V=\frac{8\sqrt{3}}{3} \) 

D.  \( V=8\sqrt{3} \)

Đáp án D.

Gọi H là hình chiếu của C’ lên mặt phẳng (ABC), khi đó C’H là đường cao

\(\Rightarrow \widehat{\left( AC’,(ABC) \right)}=\widehat{C’AH}={{60}^{O}}\)

Xét tam giác vuông AC’H, ta có:  \( C’H=C’A.\sin {{60}^{O}}=2\sqrt{3} \)

Khi đó:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{d}}.C’H=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}.2\sqrt{3}=8\sqrt{3} \)

Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30O. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm I của BC. Tính thể tích khối lăng trụ

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12} \)                            

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( A’I\bot (ABC) \)  \( \Rightarrow AI  \) là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC)

Nên  \( \widehat{\left( AA’,(ABC) \right)}=\widehat{\left( AA’,AI \right)}=\widehat{A’AI}={{30}^{O}} \)

Ta có:  \( AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A’I=AI\tan {{30}^{0}}=\frac{a}{2} \)

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)

Vậy  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

Ví dụ 5. Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng \( 2\sqrt{3} \) tạo với mặt phẳng đáy một góc 30O. Khi đó thể tích khối lăng trụ là:

A. \( \frac{9}{4} \)

B.  \( \frac{27}{4} \)                 

C.  \( \frac{27\sqrt{3}}{4} \)                                      

D.  \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)

Đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của A’ lên mặt đáy.

Suy ra góc  \( \widehat{A’AH}={{30}^{0}} \)

 \( \sin {{30}^{0}}=\frac{A’H}{A’A} \) \( \Rightarrow A’H=A’A.\sin {{30}^{0}}=2\sqrt{3}.\frac{1}{2}=\sqrt{3} \)

Khi đó:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{3}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\frac{27}{4} \)

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng 2a. Biết \( \widehat{BAD}={{60}^{O}} \),  \( \widehat{A’AB}=\widehat{A’AD}={{120}^{O}} \). Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. \( 4\sqrt{2}{{a}^{3}} \)                                           

B.  \( 2\sqrt{2}{{a}^{3}} \)     

C.  \( 8{{a}^{3}} \)        

D.  \( \sqrt{2}{{a}^{3}} \)

Đáp án A.

Từ giả thuyết ta có các tam giác  \( \Delta ABD  \),  \( \Delta A’AD  \) và  \( \Delta A’AB  \) là các tam giác đều.

 \( \Rightarrow A’A=A’B=A’D  \) nên hình chiếu H của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD.

 \( \Rightarrow AH=\frac{2}{3}.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a  \)

 \( \Rightarrow A’H=\sqrt{A'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a  \)

Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’:  \( V=A’H.{{S}_{ABCD}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a.2.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{2}{{a}^{3}} \)

Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Góc tạo bởi cạnh bên A’A với đáy bằng 45O (hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( V=\frac{\sqrt{6}}{24} \)

B.  \( V=1 \)                     

C.  \( V=\frac{\sqrt{6}}{8} \)   

D.  \( V=3 \)

Đáp án D.

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H  \)

Ta có:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} \)

 \( \left\{ \begin{align} & AH=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \\  & \tan {{45}^{0}}=\frac{A’H}{AH}\Rightarrow A’H=AH=\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\sqrt{3}.\sqrt{3}=3 \)

Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA’ hợp với đáy (ABC) một góc 60O, thể tích khối lăng trụ là

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)                                           

B.  \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

Khi đó: \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Do  \( A’O\bot \left( ABC \right) \) tại điểm O nên AO là hình chiếu vuông góc của AA’ xuống (ABC). Suy ra góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC) là góc  \( \widehat{A’AO}={{60}^{0}} \)

Xét  \( \Delta A’AO \) vuông tại O, ta có:  \( A’O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a  \)

Vậy thể tích khối lăng trụ là  \( V=A’O.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)

Ví dụ 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc với đáy và \( \widehat{B’BC}={{30}^{0}} \). Thể tích khối chóp A.CC’B’ là

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}\)                             

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

Đáp án D.

Ta có:  \( \left( BCC’B’ \right)\bot (ABC) \) (giả thiết)

Hạ  \( B’H\bot BC\Rightarrow B’H\bot \left( ABC \right) \) và  \( \widehat{B’BH}=\widehat{B’BC}={{30}^{0}} \)

Suy ra chiều cao của lăng trụ ABC.A’B’C’ là:  \( h=B’H=BB’.\sin {{30}^{0}}=2a  \)

Diện tích đáy là:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \).

Thể tích của khối lăng trụ là:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.h=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)

Thể tích khối chóp A.CC’B’ là:  \( {{V}_{A.CC’B’}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Ví dụ 10. (Đề thử nghiệm – 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(AC=2\sqrt{2}\). Biết AC’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’.

A. \( V=\frac{8}{3} \)

B.  \( V=\frac{16}{3} \)   

C.  \( V=\frac{8\sqrt{3}}{3} \) 

D.  \( V=\frac{16\sqrt{3}}{3} \)

Đáp án D.

Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB’C’ bằng thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ trừ đi thể tích của khối chóp A.A’B’C’.

Giả sử đường cao của lăng trụ là C’H. Khi đó góc giữa AC’ mặt phẳng (ABC) là góc  \( \widehat{C’AH}={{60}^{0}} \).

Ta có: \(\sin {{60}^{0}}=\frac{C’H}{AC’}\Rightarrow C’H=2\sqrt{3}\); \({{S}_{\Delta ABC}}=4\)

\({{V}_{ABC.A’B’C’}}=C’H.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{3}.\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\sqrt{3}\)

 \( {{V}_{A.A’B’C’}}=\frac{1}{3}C’H.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{8\sqrt{3}}{3} \)

 \( {{V}_{ABB’C’C}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{A.A’B’C’}}=8\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3} \)

Ví dụ 11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB’, CC’ lần lượt bằng 2a và 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’) bằng 60O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( \frac{16\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}} \)

B.  \( 8\sqrt{3}{{a}^{3}} \)

C.  \( 24\sqrt{3}{{a}^{3}} \)  

D.  \( 16\sqrt{3}{{a}^{3}} \)

Đáp án D.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB’, CC’.

Ta có:  \( HA\bot BB’ \),  \( KA\bot CC’ \) \( \Rightarrow A’A\bot \left( AHK \right) \) do đó:  \( \widehat{AHK}={{60}^{0}} \).

Khi đó:  \( H{{K}^{2}}=A{{K}^{2}}+A{{H}^{2}}-2AK.AH.\cos {{60}^{0}}=12{{a}^{2}} \)

 \( \Rightarrow A{{K}^{2}}=H{{K}^{2}}+A{{H}^{2}} \)

Suy ra tam giác AHK vuông tại H.

Gọi H’, K’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên BB’, CC’.

Ta có: VA.BCHK = VA.B’C’K’H’

Khi đó \({{V}_{ABC.A’B’C’}}={{V}_{AHK.A’H’K’}}=AA’.{{S}_{\Delta AHK}}=16\sqrt{3}{{a}^{3}}\)

Ví dụ 12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 60O. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A.  \( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4} \)

B.  \( \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)

C.  \( \frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8} \)              

D.  \( \frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC).

Ta có: \( A’H\bot (ABC) \) \( \Rightarrow \)  HC là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABC).

 \( \Rightarrow \widehat{\left( A’C,(ABC) \right)}=\widehat{\left( A’C,HC \right)}=\widehat{A’CH}={{60}^{0}} \)

 \( CH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Xét tam giác vuông A’HC, ta có:  \( A’H=CH.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}, {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \).

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

Ví dụ 13. Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có diện tích mặt bên (ABB1A1) bằng 4, khoảng cách giữa cạnh CC1 đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1.

A. 12

B. 18                                 

C. 24                                

D. 9

Đáp án A.

Ta có:  \( {{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}) \right)}}.{{S}_{AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{1}{3}.4.6=8 \)

 \( {{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-{{V}_{C.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}} \)  \( ={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\frac{3}{2}{{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{3}{2}.8=12 \)

Ví dụ 14. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, tam giác A’BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 6

B. 3

C. 2                                   

D. 1

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) suy ra A’H là chiều cao của lăng trụ. Xét khối chóp A.A’BC có diện tích đáy  \( B={{S}_{\Delta A’BC}}=1 \), chiều cao  \( h={{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}=2 \)

Suy ra thể tích của khối chóp A.A’BC là:  \( {{V}_{A.A’BC}}=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}.1.2=\frac{2}{3} \)

Mặt khác:  \( \left\{ \begin{align}  & {{V}_{A.A’BC}}={{V}_{A’ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\frac{2}{3} \\  & {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=3{{V}_{A.A’BC}}=3.\frac{2}{3}=2 \)

Cách khác:

Ta thấy lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối chóp có thể tích bằng nhau là: A’.ABC, A’.BCB’, A’.B’C’C.

Mà  \( {{V}_{A’.ABC}}={{V}_{A.A’BC}}=\frac{1}{3}.1.2=\frac{2}{3} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=3{{V}_{A.A’BC}}=3.\frac{2}{3}=2 \)

Ví dụ 15. Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng \( 2\sqrt{3} \) và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60O. Khi đó thể tích khối lăng trụ là:

A. \( \frac{27}{4} \)

B.  \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)       

C.  \( \frac{27\sqrt{3}}{4} \)                                      

D.  \( \frac{9}{4} \)

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C’ xuống mặt phẳng (ABC), khi đó góc hợp bởi CC’ và mặt phẳng (ABC) là  \( \widehat{C’CH}={{60}^{0}} \)

 \( \Rightarrow C’H=C’C.\sin {{60}^{0}}=2\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=3 \)

Lại có  \( \Delta ABC  \) đều cạnh bằng 3 nên  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{.3}^{2}}=\frac{9\sqrt{3}}{4} \).

Do đó:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.C’H=\frac{9\sqrt{3}}{4}.3=\frac{27\sqrt{3}}{4} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!