Home Toán học Bài tập Thể tích khối chóp – Mặt bên vuông góc với đáy

Bài tập Thể tích khối chóp – Mặt bên vuông góc với đáy

by AdminTLH

Bài tập Thể tích khối chóp – Mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45O. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6} \)

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm của AB,  \( \Delta SAB  \) cân tại S  \( \Rightarrow SH\bot AB  \)

 \( \left. \begin{align}  & (SAB)\bot (ABCD) \\ & (SAB)\cap (ABCD)=AB \\ & SH\subset (SAB);SH\bot AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

 \( \widehat{\left( SC,(ABCD) \right)}=\widehat{SCH}={{45}^{0}} \)  \( \Rightarrow \Delta SHC  \) vuông cân tại H.

 \( \Rightarrow SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

 \( {{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{a}^{2}} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6} \)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy 30O. Thể tích khối chóp S.ABCD là

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)                                           

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)                               

D.  \( \frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)

Đáp án A.

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra:  \( SH\bot (ABCD) \) và  \( \widehat{\left( (SCD),(ABCD) \right)=}\widehat{SKH}={{30}^{0}} \).

Xét  \( \Delta SHK  \) vuông tại H, ta có:  \( HK=\frac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3a}{2} \).

Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{3a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, AB = a, \( AC=a\sqrt{3} \),  \( SB=a\sqrt{2} \). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)

Đáp án C.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:  \( BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a  \)

H là trung điểm của BC nên BH = a.

Xét tam giác SBH vuông tại H có:  \( SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a  \)

Diện tích đáy ABC là:  \( {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sqrt{3} \)

Thể tích của khối chóp S.ABC là:  \( V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, \( BC=a\sqrt{3} \). Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)

B.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \)                         

C.  \( V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} \)                         

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4} \)

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

Do  \( \Delta SAB  \) đều nên  \( SH\bot AB  \)

 \( \left. \begin{align} & (SAB)\bot (ABC) \\  & (SAB)\cap (ABC)=AB \\  & SH\subset (SAB),SH\bot AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SH\bot (ABC) \)

Vậy SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

 \( \Delta ABC  \) vuông tại A, ta có:  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \)

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \),  \( SH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Thể tích khối chóp S.ABC là:  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \)

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, \( BC=a\sqrt{3} \). Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\)

B. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\)

C. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}\)                          

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\)

Đáp án A.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \)

Diện tích tam giác ABC là:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \).

Gọi H là trung điểm AB thì  \( SH\bot AB  \).

 \( Vì \left. \begin{align}  & (SAB)\bot (ABC) \\  & (SAB)\cap (ABC)=AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SH\bot (ABC) \)

Suy ra SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

Tam giác SAH vuông tại H nên  \( SH=SA.\sin \widehat{SAH}=a.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Thể tích khối chóp S.ABC là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \).

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = a, \( \widehat{BAC}={{120}^{0}} \). Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}}{8} \)

B.  \( V={{a}^{3}} \)     

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{2} \)                                        

D.  \( V=2{{a}^{3}} \)

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm đoạn AB  \( \Rightarrow SH\bot AB  \) (vì tam giác SAB là tam giác đều)

\(\left\{ \begin{align}  & (SAB)\bot (ABC) \\  & (SAB)\cap (ABC)=AB \\  & SH\subset (SAB);SH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot (ABC)\)

Nhận thấy  \( \Delta SAB  \) là tam giác đều cạnh a  \( \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}}{8} \).

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là 30O. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. \( \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)           

C.  \( \frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)       

D.  \( 2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)

Đáp án D.

Trong tam giác đều SAD gọi I là trung điểm AD  \( \Rightarrow SI\bot AD\Rightarrow SI\bot (ABCD) \).

Gọi M là trung điểm BC  \( \Rightarrow BC\bot IM  \)     (1)

Mặt khác do  \( SI\bot (ABCD)\Rightarrow BC\bot SI  \)    (2)

Từ (1), (2) suy ra  \( BC\bot SM  \).

Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) chính là góc  \( \widehat{SMI}={{30}^{0}} \).

Xét tam giác vuông SIM có  \( IM=\frac{SI}{\tan {{30}^{0}}}=3a  \) (vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a nên  \( SI=a\sqrt{3} \))

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\frac{1}{3}AD.BC.SI=2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)

Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD),  \( \widehat{SAB}={{30}^{0}} \), SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

B.  \( V={{a}^{3}} \)     

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{9} \)                                        

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)

Đáp án D.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB.

Do  \( \left. \begin{align} & (SAB)\bot (ABCD) \\  & (SAB)\cap (ABCD)=AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Xét tam giác SAH vuông tại H, ta có: \(\sin \widehat{SAB}=\frac{SH}{SA}\) \(\Rightarrow SH=SA.\sin {{30}^{0}}=a\).

Mặt khác:  \( {{S}_{ABCD}}=A{{D}^{2}}={{a}^{2}} \)

Nên  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.a=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)

Ví dụ 9. (Đề Minh Họa – 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng  \( a\sqrt{2} \). Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng  \(\frac{4}{3}{{a}^{3}} \). Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).

A. \( h=\frac{4}{3}a \)   

B.  \( h=\frac{3}{2}a  \)   

C.  \( h=\frac{2\sqrt{5}}{5}a  \)             

D.  \( h=\frac{\sqrt{6}}{3}a  \)

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm của AD. Nên  \( SH\bot AD  \)

 \( \left\{ \begin{align} & (SAD)\bot (ABCD) \\  & (SAD)\cap (ABCD)=AD \\  & AD\bot SH \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Ta có:  \( {{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}} \)

 \( \Rightarrow SH=\frac{3V}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{3.\frac{4{{a}^{3}}}{3}}{2{{a}^{2}}}=2a  \)

Gọi I là hình chiếu của H lên SD

\({{d}_{\left( B,(SCD) \right)}}={{d}_{\left( A,(SCD) \right)}}=2{{d}_{\left( H,(SCD) \right)}}=2IH\)

Mà  \( IH=\frac{SH.HD}{SD}=\frac{SH.HD}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}} \) \( =\frac{2a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{2}{3}a \)

Vậy  \( {{d}_{\left( B,(SCD) \right)}}=\frac{4}{3}a  \).

Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng  \( \sqrt{21} \). Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

A. \( \sqrt{21} \)

B. 21             

C.  \( 7\sqrt{3} \)

D. 7

Đáp án D.

Giả sử AB = a. Gọi H là trung điểm của AB  \( \Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Ta có:

 \( \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BD}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA} \right).\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \right)=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}\sqrt{2}\cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \left( SA,BD \right)=\sqrt{\frac{7}{8}} \)

 \( {{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}SH.AB.AD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}} \) \( \Rightarrow {{V}_{SABD}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \).

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}SA.BD.{{d}_{\left( SA,BD \right)}}.\sin \left( SA,BD \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}a.a\sqrt{2}.\sqrt{21}.\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}\Leftrightarrow a=7 \)

Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \( BC=\frac{1}{2}AD=a  \). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng  \( \alpha  \) sao cho  \( \tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{5} \). Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a.

A. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{2} \)

B.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)                

C.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)   

D.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm AB, từ giả thiết ta có:  \( SH\bot (ABCD) \), \(\widehat{\left( SC,(ABCD) \right)}=\widehat{SCH}=\alpha \).

Đặt  \( AB=x  \), ta có:  \( HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}} \),  \( SH=HC.\tan \alpha =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5} \).

Mặt khác:  \( SH=\frac{x\sqrt{3}}{2} \).

Vậy ta có:  \( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=a  \).

\({{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).AB}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\); \({{S}_{ACD}}=\frac{2}{3}{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\).

\({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

Ví dụ 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45O. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến (SAC).

A. \( d=\frac{a\sqrt{1513}}{89} \)

B.  \( d=\frac{2a\sqrt{1315}}{89} \)           

C.  \( d=\frac{a\sqrt{1315}}{89} \)            

D.  \( d=\frac{2a\sqrt{1513}}{89} \)

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm AB  \( \Rightarrow SH\bot (ABCD) \).

Xét  \( \Delta BCH  \) vuông tại B, có  \( CH=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2} \)

Xét  \( \Delta SHC  \) vuông cân tại H, có:  \( SH=\frac{a\sqrt{17}}{2};SC=\frac{a\sqrt{34}}{2} \)

Xét  \( \Delta SAH  \) vuông tại H, có  \( SA=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2} \),

Xét  \( \Delta ABC  \) vuông tại B, có  \( AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5} \) \( \Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{4} \)

Ta có:  \( {{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{3} \);  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{6} \)

\({{V}_{S.ACM}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{12}\)

Mà  \( {{V}_{S.MAC}}=\frac{1}{3}.d.{{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{12}.d  \) \( \Rightarrow d=\frac{a\sqrt{1513}}{89} \)

Ví dụ 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD. Biết rằng \( SA=2a\sqrt{3} \) và SC tạo với đáy một góc bằng 30O. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \( V=8\sqrt{6}{{a}^{3}} \)

B.  \( V=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3} \)                         

C.  \( V=8\sqrt{2}{{a}^{3}} \)             

D.  \( V=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{9} \)

Đáp án B.

 \( S{{H}^{2}}=HD.HA=3H{{D}^{2}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HD  \)

Có:  \( \left\{ \begin{align}  & \tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{DH}=\sqrt{3} \\& \tan \widehat{SDH}=\frac{SA}{SD} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{SA}{SD}=\sqrt{3} \)

 \( \Rightarrow SD=\frac{SA}{\sqrt{3}}=2a\Rightarrow DA=\sqrt{S{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}=4a  \)

 \( DH=\frac{1}{4}DA=a  \)

Tam giác SHC có  \( \tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{SH}{HC}\) \( \Rightarrow HC=\frac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=3a \) 

Tam giác DHC có \(DC=\sqrt{D{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)

Vậy  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AD.DC=\frac{1}{3}.\sqrt{3}a.4a.2\sqrt{2}a=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3} \)

Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng \( \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} \). Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) là

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{a\sqrt{2}}{6}\)

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) 

D. \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\)

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm của CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a do đó  \( BC=BD=a\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow C{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}} \) do đó tam giác BCD vuông cân tại B.

Gọi H là trung điểm của BD thì  \( SH\bot (ABCD) \).

Khi \({{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BD.BC\)\(\Rightarrow SH=\frac{6.\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Hạ  \( HI\bot SB  \).

Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm của AM và ta có AMCB là hình bình hành do đó AH // BC

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}={{d}_{\left( H,(SBC) \right)}}=HI  \).

Khi đó:  \( \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{6{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \)  \( \Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4} \) hay  \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).

Ví dụ 15. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABM.

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12} \)

Đáp án D.

Ta có: \({{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

 \( IB=\sqrt{I{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

Ta có: IB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD)  \( \Rightarrow \widehat{\left( SB,(ABCD) \right)}=\widehat{\left( SB,IB \right)}={{60}^{0}} \)

Ta có:  \( SI=IB.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{15}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{S.ABM}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12} \)

Ví dụ 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho \( AH=\frac{2}{3}AC  \); mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60O. Thể tích khối chóp S.ABC là

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)

Đáp án B.

Gọi M là trung điểm của BC.

 \( N\in CM:\frac{CN}{CM}=\frac{CH}{CA}=\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow \text{H}N//AM \) .

Mà  \( \Delta ABC  \) đều nên  \( AM\bot BC\Rightarrow HN\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right) \)

Nên  \( \widehat{\left( (SBC),(ABC) \right)}=\widehat{\left( SN,HN \right)}=\widehat{SNH}={{60}^{0}} \).

Do  \( \Delta ABC  \) đều nên  \( AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HN=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6} \)

 \( \Delta SHN  \) vuông tại H có  \( SH=HN.\sin \widehat{SNH}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4} \).

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\)

Ví dụ 17. Cho hình chóp S.ABC có AB = a, \( BC=a\sqrt{3} \),  \( \widehat{ABC}={{60}^{0}} \). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là 45O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC),  \( H\in BC  \).

 \( \widehat{\left( SA,(ABC) \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SHA  \) vuông cân  \( \Rightarrow SH=HA  \).

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC} \) \( =\frac{1}{6}.AH.a.a\sqrt{3}.\sin {{60}^{0}}=AH.\frac{{{a}^{2}}}{4} \)

 \( {{V}_{\min }}\Leftrightarrow A{{H}_{\min }}\Leftrightarrow AH\bot BC  \) tại H.

 \( \sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=a.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{\min }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!