Home Toán học Bài 5.2 – Bài tập Phương trình và bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Bài 5.2 – Bài tập Phương trình và bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số

by AdminTLH

A. Phương trình và bất phương trình đưa về cùng cơ số

+ Đối với phương trình:

  • Loại 1: \( {{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & \left\{\begin{matrix} 0 < a\ne 1 \\ f(x)=g(x)\end{matrix}\right. \\ \end{align} \right. \)
  • Loại 2: \( {{a}^{f(x)}}=b \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 0 < a\ne 1 \\ & b>0 \\ & f(x)={{\log }_{a}}b \\ \end{align} \right. \)

+ Đối với bất phương trình:

  • Loại 1: \( {{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}} \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{\begin{matrix} a>1 \\ f(x)>g(x) \end{matrix}\right. \\ & \left\{\begin{matrix} 0 < a<1 \\ f(x) < g(x) \end{matrix}\right. \\ \end{align} \right. \)
  • Loại 2: \( {{a}^{f(x)}}>b \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{\begin{matrix} b\le 0 \\ f(x) )\text{ có nghĩa } \end{matrix}\right. \\ & \left\{\begin{matrix} b > 0 \\ \left [ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a > 1 \\ f(x)>{{\log }_{a}}b \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 0 < a < 1 \\ f(x) < {{\log }_{a}}b \end{matrix}\right.\end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \\ \end{align} \right. \)

B. Các ví dụ minh họa

Phần 1. Phương trình mũ

Ví dụ 1. Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-1}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x-7}}\). Khi đó S bằng bao nhiêu?

A. 1

B.  \( -2 \)

C. 3                                   

D.  \( -5 \)

Đáp án B

\({{3}^{{{x}^{2}}-1}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x-7}}\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-1}}={{3}^{-2(x-7)}}\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=-2(x-7)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-15=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-5 \\& x=3 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow S=-5+3=-2\)

Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình  \( {{8}^{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+2}}={{4}^{{{x}^{2}}-x+2}} \) là:

A. \(\frac{14}{3}\)

B. \(\frac{14}{5}\)             

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{4}{3}\)

Đáp án A

Phương trình tương đương: \({{2}^{3({{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+2)}}={{2}^{2({{x}^{2}}-x+2)}}\)\(\Leftrightarrow 3({{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+2)=2({{x}^{2}}-x+2)\)

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+5x+2=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{2}{3} \\& x=2\pm \sqrt{5} \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow S=\frac{2}{3}+2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=\frac{4}{3}\)

Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình  \( 0,{{125.4}^{2x-3}}={{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{x}} \) là

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án B

Phương trình tương đương:  \( {{2}^{-3}}{{.2}^{2(2x-3)}}={{\left( {{2}^{2}}{{.2}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{x}} \)  \(\Leftrightarrow {{2}^{4x-9}}={{2}^{\frac{5x}{2}}}\Leftrightarrow 4x-9=\frac{5x}{2} \)  \( \Leftrightarrow 8x-18=5x\Leftrightarrow 3x=18 \)

 \( \Leftrightarrow x=6 \)

Vậy phương trình có 1 nghiệm là  \( x=6 \)

Ví dụ 4. Biết a, b là hai nghiệm của phương trình  \( {{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}} \) (với  \( a<b \)). Hỏi trong khoảng  \( \left( a;b \right) \) có bao nhiêu số nguyên?

A. 1

B. 3                                   

C. 5                                   

D. 7

Đáp án B

\({{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}\)\(\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}\left( \frac{1}{2}+{{2}^{2}} \right)={{3}^{{{x}^{2}}}}\left( 1+\frac{1}{3} \right)\)\(\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}.\frac{9}{2}={{3}^{{{x}^{2}}}}.\frac{4}{3}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}\)

Vậy \(\left\{ \begin{align}& a=-\sqrt{3} \\& b=\sqrt{3} \\\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( -\sqrt{3};\sqrt{3} \right)\): có 3 số nguyên là \(\pm 1;0\)

Ví dụ 5. Nghiệm của phương trình  \( {{6}^{x}}+{{6}^{x+1}}+{{6}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{5}^{x+3}}-{{5}^{x+1}} \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A.  \( \left( 4;6 \right) \)

B.  \( \left( 0;3 \right) \)

C. \( \left( 3;4 \right) \)     

D. \( \left( 6;9 \right) \)

Đáp án A

Phương trình tương đương: \({{6}^{x}}\left( 1+6+{{6}^{2}} \right)={{5}^{x}}\left( 1+{{5}^{3}}-5 \right)\)\(\Leftrightarrow {{43.6}^{x}}={{121.5}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{6}{5} \right)}^{x}}=\frac{121}{43}\)

\(\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{6}{5}}}\frac{121}{43}\approx 5,67\in \left( 4;6 \right)\)

Ví dụ 6. Tổng các nghiệm của phương trình  \( {{6}^{x}}-{{3}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2=0 \) gần số nào nhất?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án B

Phương trình tương đương:  \( {{(2.3)}^{x}}-{{3}^{x}}-{{2.2}^{x}}+2=0 \)  \( \Leftrightarrow {{3}^{x}}({{2}^{x}}-1)-2({{2}^{x}}-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow ({{3}^{x}}-2)({{2}^{x}}-1)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{3}^{x}}-2=0 \\ & {{2}^{x}}-1=0 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{3}^{x}}=2 \\& {{2}^{x}}=1 \\\end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x={{\log }_{3}}2 \\& x=0 \\\end{align} \right. \)

\( \Rightarrow S={{\log }_{3}}2\approx 0,6309297 \)

Phần 2. Bất phương trình mũ

Ví dụ 7. (Đề tham khảo – 2017) Tìm tập nghiệm của bất phương trình  \( {{5}^{x+1}}-\frac{1}{5}>0 \)

A.  \( S=\left( 1;+\infty \right) \)

B.  \( S=\left( -1;+\infty  \right) \)            

C.  \( S=\left( -2;+\infty  \right) \)                   

D.  \( S=\left( -\infty ;-2 \right) \)

Đáp án C

Ta có:  \( {{5}^{x+1}}-\frac{1}{5}>0\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}>{{5}^{-1}} \)  \( \Leftrightarrow x+1>-1\Leftrightarrow x>-2 \)

 \( \Rightarrow S=\left( -2;+\infty  \right) \)

Ví dụ 8. Biết  \( S=\left[ a;b \right] \) là tập nghiệm của bất phương trình  \( {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{{{x}^{2}}-x}}\ge {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{x+3}} \) (với a, b ∈ R và a < b). Khi đó hiệu b – a bằng bao nhiêu?

A. -4

B. 4

C. 2                                   

D. không xác định

Đáp án B

Ta có:  \( {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{{{x}^{2}}-x}}\ge {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{x+3}} \)  \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\le x+3 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3\le 0 \)

 \( \Leftrightarrow -1\le x\le 3\Rightarrow S=\left[ -1;3 \right] \)

 \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=-1 \\& b=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow b-a=4 \)

Ví dụ 9. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  \( {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-x-3}}\ge 3+2\sqrt{2} \) là

A. 2

B. 3

C. 4                                   

D. vô số

Đáp án C

Ta nhận thấy: \(\left( 3-2\sqrt{2} \right)\left( 3+2\sqrt{2} \right)=1\)\(\Rightarrow 3-2\sqrt{2}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}={{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{-1}}\).

Ta có: \({{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{-({{x}^{2}}-x-3)}}\ge 3+2\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow -({{x}^{2}}-x-3)\ge 1\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-3\le -1\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2\le 0\)

\(\Leftrightarrow -1\le x\le 2\)

\(\xrightarrow{x\in \mathbb{Z}}x=\{-1;0;1;2\}\): có 4 giá trị nguyên

Ví dụ 10. Cho bất phương trình  \( {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x-5}{x-1}}}\le {{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{\frac{x+1}{x+5}}} \). Gọi  \( {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}} \) lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất phương trình. Khi đó  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \) bằng bao nhiêu?

A. -2

B. -1

C. 0                                   

D. 4

Đáp án B

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x\ne 1 \\& x\ne -5 \\\end{align} \right. \)

Ta nhận thấy:  \( \left( \sqrt{10}+3 \right)\left( \sqrt{10}-3 \right)=1 \) \( \Rightarrow \sqrt{10}-3=\frac{1}{\sqrt{10}-3}={{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{-1}} \)

Bất phương trình tương đương:  \( {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{\frac{x-5}{x-1}}}\le {{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{-\frac{x+1}{x+5}}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{x-5}{x-1}\le -\frac{x+1}{x+5} \)  \( \Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}-26}{\left( x-1 \right)(x+5)}\le 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -5 < x \le -\sqrt{13} \\& 1 < x \le \sqrt{13} \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=3 \\ & x=-4 \\\end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \)

Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình  \( {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{2x}{x-1}}}\le {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x}} \) có nghiệm là

A.  \( S=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 0;1 \right] \)

B.  \( S=\left[ -1;0 \right] \)

C.  \( S=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right) \)

D.  \( S=\left[ -1;0 \right]\cup \left( 1;+\infty  \right) \)

Đáp án D

Điều kiện:  \( x\ne 1 \)

Ta nhận thấy:  \( \left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)=1 \)  \( \Rightarrow \sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{-1}} \)

Bất phương trình tương đương:  \( {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{-\frac{2x}{x-1}}}\le {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x}} \) \( \Leftrightarrow -\frac{2x}{x-1}\le x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+x}{x-1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -1\le x\le 0 \\& x>1 \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow S=\left[ -1;0 \right]\cup \left( 1;+\infty  \right) \)

Ví dụ 12. Gọi xO là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình  \( \frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}}\le {{2}^{x-1}} \). Hỏi giá trị nào sau đây gần xO nhất?

A. 1

B.  \( \frac{1}{2} \)

C.  \( \frac{3}{2}   \)            

D. 3

Đáp án C

Bất phương trình tương đương:  \( {{2}^{-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}}\le {{2}^{x-1}}\Leftrightarrow -\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\le x-1 \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x}\ge 1-x \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{\begin{matrix} 1-x < 0 \\ {{x}^{2}}-2x\ge 0 \end{matrix}\right. \\& \left\{\begin{matrix} 1-x >0 \\ {{x}^{2}}-2x\ge {{x}^{2}}-2x+1 \end{matrix}\right. \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>1 \\ \left [ \begin{matrix} x\le 0 \\ x\ge 2 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow x\ge 2 \)

 \( \Rightarrow {{x}_{\min }}={{x}_{0}}=2 \) gần  \( \frac{3}{2} \) nhất

Ví dụ 13. (Sở GD&ĐT Quảng Ninh) Một học sinh giải bất phương trình \({{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{-\frac{1}{x}}}\le {{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{-5}}\).

Bước 1: Điều kiện \(x\ne 0\)

Bước 2: Vì \(0<\frac{2}{\sqrt{5}}<1\) nên \({{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{-\frac{1}{x}}}\le {{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{-5}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}\le 5\)

Bước 3: Từ đó suy ra \(1\le 5x\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{5}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ \frac{1}{5};+\infty  \right)\)

A. Sai ở bước 1

B. Sai ở bước 2

C. Sai ở bước 3                 

D. Đúng

Đáp án C

Ở bước 3: Từ  \( \frac{1}{x}\le 5\Leftrightarrow \frac{1-5x}{x}\le 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x<0 \\& x\ge \frac{1}{5} \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left[ \frac{1}{5};+\infty  \right) \)

Vậy sai ở bước 3

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!