Home Toán học Bài tập Phương trình mũ chứa tham số m – Mức Thông Hiểu

Bài tập Phương trình mũ chứa tham số m – Mức Thông Hiểu

by AdminTLH

Bài tập Phương trình mũ chứa tham số m – Mức Thông Hiểu

Ví dụ 1. (THPTQG – 2018 – 101) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \({{16}^{x}}-m{{.4}^{x+1}}+5{{m}^{2}}-45=0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 6

B. 4

C. 13                                

D. 3

Đáp án D.

Đặt  \( t={{4}^{x}},\left( t>0 \right) \), phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-4mt+5{{m}^{2}}-45=0 \) (1).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương (t > 0).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’>0 \\ & P>0 \\ & S>0 \\ \end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -{{m}^{2}}+45>0 \\ & 5{{m}^{2}}-45>0 \\ & 4m>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -3\sqrt{5}< m<3\sqrt{5} \\ & m <-3\vee m > 3 \\ & m > 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3 < m< 3\sqrt{5} \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ 4;5;6 \right\} \).

Vậy S có 3 phần tử.

Ví dụ 2. (THPTQG – 2017 – 104) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình \( {{9}^{x}}-{{2.3}^{x+1}}+m=0 \) có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \).

A. m = 3

B. m = 1                           

C. m = 6                          

D.  \( m=-3 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {{9}^{x}}-{{2.3}^{x+1}}+m=0\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{6.3}^{x}}+m=0 \)

Phương trình có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’=9-m>0 \\ & {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=6>0 \\  & {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=3=m \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=3 \)

Ví dụ 3. (THPTQG – 2018 – 102) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \( {{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0 \) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử.

A. 7

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án C.

Xét phương trình:  \( {{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0 \) (1)

Đặt  \( t={{5}^{x}}\left( t>0 \right) \).

Phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0 \) (2)

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \)Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 > 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\ & 5m>0 \\ & 7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow 1 < m<\frac{2\sqrt{21}}{3} \)

Mà  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3 \right\} \).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m.

Ví dụ 4. (THPTQG – 2018 – 103) Gọi S là tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \( {{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2{{m}^{2}}-5=0 \) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử.

A. 2

B. 1

C. 3                                   

D. 5

Đáp án B.

Ta có:  \( {{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2{{m}^{2}}-5=0 \) \( \Leftrightarrow {{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2{{m}^{2}}-5=0 \) (1)

Đặt  \( t={{2}^{x}},t>0 \).

Phương trình (1) trở thành:  \( {{t}^{2}}-2m.t+2{{m}^{2}}-5=0 \) (2)

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-2{{m}^{2}}+5>0 \\ & 2m>0 \\  & 2{{m}^{2}}-5>0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -\sqrt{5}< m<\sqrt{5} \\ & m > 0 \\ & m <-\sqrt{\frac{5}{2}}\vee m >\sqrt{\frac{5}{2}} \\ \end{align} \right.  \) \(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{10}}{2}<m<\sqrt{5} \)

Do m nguyên nên m = 2.

Vậy S chỉ có một phần tử.

Ví dụ 5. (THPTQG – 2017 – 110) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình: \( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+m=0 \) có hai nghiệm thực phân biệt

A. \( m\in \left( 0;+\infty \right) \)                           

B.  \( m\in \left( -\infty ;1 \right) \)             

C.  \( m\in \left( 0;1 \right] \)                       

D.  \( m\in \left( 0;1 \right) \)

Đáp án D.

Phương trình  \( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+m=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{x}}+m=0 \) (1)

Đặt  \( t={{2}^{x}},t>0 \).

Phương trình (1) trở thành:  \( {{t}^{2}}-2t+m=0 \) (2)

Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’>0 \\  & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1-m>0 \\ & -\frac{-2}{1}>0 \\ & \frac{m}{1}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 0<m<1 \)

Ví dụ 6. (THPTQG – 2018 – 104) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \( {{9}^{x}}-m{{.3}^{x+1}}+3{{m}^{2}}-75=0 \) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 5

B. 8

C. 4                                   

D. 19

Đáp án C.

 \( {{9}^{x}}-m{{.3}^{x+1}}+3{{m}^{2}}-75=0 \) (1) \(\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-3m{{.3}^{x}}+3{{m}^{2}}-75=0\)

Đặt \(t={{3}^{x}},t>0\)

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-3mt+3{{m}^{2}}-75=0 \) (2)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta =300-3{{m}^{2}}>0 \\ & 3m>0 \\ & 3{{m}^{2}}-75>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} -10 < m<10 \\  m > 0 \\\left[\begin{array}{l} m <-5  \\ m > 5\end{array}\right.\end{cases} \)

\( \Leftrightarrow 5 < m <10 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 6;7;8;9 \right\} \)

Ví dụ 7. Cho phương trình \( m{{.16}^{x}}-2\left( m-2 \right){{.4}^{x}}+m-3=0 \)  (1). Tập hợp tất cả các giá trị dương của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a;b). Tổng  \( T=a+2b  \) bằng

A. 14

B. 10

C. 11                                

D. 7

Đáp án C.

Đặt  \( t={{4}^{x}},t>0 \)

Phương trình (1) trở thành  \( m.{{t}^{2}}-2\left( m-2 \right)t+m-3=0 \) (2)

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ne 0 \\  & {\Delta }’>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\  & {{\left( m-2 \right)}^{2}}-m\left( m-3 \right)>0 \\ & \frac{m-2}{m}>0 \\ & \left( m-3 \right)m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} m\ne 0 \\ -m+4>0 \\ \left[\begin{array}{l} m>2  \\ m<0  \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} m>3  \\ m<0  \end{array}\right.\end{cases} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3< m<4 \\  & m <0\text{ (loại)} \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( 3< m<4\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\ & b=4 \\ \end{align} \right. \)  \(  \Rightarrow a+2b=11 \)

Ví dụ 8. Phương trình \( {{4}^{x}}-{{3.2}^{x+1}}+m=0 \) có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \). Giá trị của m thuộc khoảng nào sau đây?

A. \( \left( -5;0 \right) \)

B.  \( \left( -7;-5 \right) \)  

C.  \( \left( 0;1 \right) \)             

D.  \( \left( 5;7 \right) \)

Đáp án C.

Đặt  \( t={{2}^{x}} \) (t > 0).

Ta có phương trình:  \( {{t}^{2}}-6t+m=0 \) (1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \)

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn  \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{-1}}=\frac{1}{2} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’\ge 0 \\ & S>0 \\ & P=\frac{1}{2}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 9-m\ge 0 \\ & 6>0 \\  & m=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \(  \Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 9. Với giá trị nào của tham số m để phương trình \( {{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2m+3=0 \) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \).

A. \( m=\frac{5}{2} \)                                          

B. m = 2                           

C. m = 8           

D.  \( m=\frac{13}{2} \).

Đáp án D.

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{2}^{2x}}-2m{{.2}^{x}}+2m+3=0 \) (1).

Đặt  \( t={{2}^{x}}\left( t>0 \right) \), khi đó phương trình (1) trở thành:  \( {{t}^{2}}-2m.t+2m+3=0 \) (2)

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2  \( \Leftrightarrow  \)phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 dương.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’\ge 0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-2m-3\ge 0 \\ & 2m>0 \\ & 2m+3>0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow m\ge 3 \)

Theo định lý Viet, ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2m+3 \\ \end{align} \right. \)

Với  \( t={{2}^{x}} \), ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}={{2}^{{{x}_{1}}}} \\ & {{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{2}}}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}} \)

 \( \Leftrightarrow 2m+3={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}\Leftrightarrow 16=2m+3 \)  \( \Leftrightarrow m=\frac{13}{2} \) (thỏa mãn)

Ví dụ 10. Cho phương trình \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10 \) thuộc khoảng nào sau đây?

A. (5;10)

B. (0;5)

C. (10;15)                        

D.  \( \left( 15;+\infty  \right) \)

Đáp án C.

 \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (1)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\left( 2m+3 \right){{.3}^{x}}+81=0 \)

Đặt  \( t={{3}^{x}}(t>0) \)

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-(2m+3)t+81=0 \) (2)

Ta có:  \( \Delta ={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324 \)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324>0 \\ & 2m+3>0 \\ & 81>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} 2m+3>18 \\ 2m+3<-18 \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>\frac{15}{2}\\ m<-\frac{21}{2} \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \)

 \( \Leftrightarrow m>\frac{15}{2} \)

Áp dụng hệ thức Viet: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\ \end{align} \right. \)

Vì  \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}={{3}^{4}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \)

Do đó: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\)\(\Leftrightarrow {{4}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\)

Xét hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=3 \\ \end{align} \right. \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=3 \\  & {{t}_{2}}=27 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=30\)

 \( \Rightarrow 2m+3=30\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\text{(nhận)} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!