Home Toán học Bài tập Phương trình Logarit chứa tham số m – Mức Vận dụng

Bài tập Phương trình Logarit chứa tham số m – Mức Vận dụng

by AdminTLH

Bài tập Phương trình Logarit chứa tham số m - Mức Vận dụng

Ví dụ 1. (Đề minh họa – 2020 – Lần 1) Cho phương trình \(\log _{2}^{2}(2x)-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\) (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) là

A. \(\left( 1;2 \right)\)

B. \(\left[ 1;2 \right]\)

C. \(\left[ 1;2 \right)\)      

D. \(\left[ 2;+\infty  \right)\)

Đáp án C.

\(\log _{2}^{2}(2x)-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ 1+{{\log }_{2}}x \right]}^{2}}-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\) (*)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x=g(x)\Rightarrow 0\le t\le 1  \) và mỗi giá trị của x sẽ cho một giá trị của t

(*) trở thành  \( {{\left( 1+t \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1-mt-2t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=m(t-1)\Leftrightarrow (t-1)(t+1-m)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=m-1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & t=1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Với t = 1 thì phương trình có một nghiệm x = 2.

Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có một nghiệm  \( t\ne 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le m-1<1\Leftrightarrow 1\le m<2 \)

Vậy  \( m\in \left[ 1;2 \right) \) để thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Cho phương trình \( 3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0 \). Số các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15 \) là:

A. 14

B. 11

C. 12                                

D. 13.

Đáp án D.

 Ta có:  \( 3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ & 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m={{x}^{2}}-x+1-3m \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(*) \\ & {{x}^{2}}-(m+2)x+2m=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ \end{align} \right.  \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ \left [ \begin{matrix}x=m \\ x=2 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m+1-3m>0 \\ & {{2}^{2}}-1+1-3m>0 \\ & m\ne 2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-4m+1>0 \\ & 4-3m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<2-\sqrt{3} \).

Theo giả thiết:  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<225 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-221<0\Leftrightarrow -13<m<17 \)

Do đó:  \( -13<m<2-\sqrt{3} \)

Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13.

Ví dụ 3. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m với m < 64 để phương trình \( {{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+m \right)+{{\log }_{5}}\left( 2-x \right)=0 \) có nghiệm. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 2018

B. 2016

C. 2015                            

D. 2013

Đáp án C.

Ta có:

 \( {{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+m \right)+{{\log }_{5}}\left( 2-x \right)=0 \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+m \right)={{\log }_{5}}\left( 2-x \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x<2 \\ & x=\frac{2-m}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{2-m}{2}<2\Leftrightarrow m>-2 \)

Kết hợp với m < 64.

Khi đó  \( -2<m<64 \)

Vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1;0;1;…;63 \right\} \) có 65 giá trị.

Vậy tổng S các giá trị của m để phương trình có nghiệm là:  \( S=\frac{\left( -1+63 \right).65}{2}=2015 \)

Ví dụ 4. (THPTQG – 2019 – 102) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 7

B. 6

C. 5                                   

D. Vô số

Đáp án C.

Xét phương trình  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \)

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}& x>\frac{1}{6} \\ & m>0 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}m={{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow mx=6x-1\Leftrightarrow x\left( 6-m \right)=1 \) (1)

+ Với m = 6, phương trình (1) trở thành 0 = 1 (vô lý)

+ Với  \( m\ne 6 \), phương trình (1) có nghiệm  \( x=\frac{1}{6-m} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{6-m}>\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{1}{6-m}-\frac{1}{6}>0\) \( \Leftrightarrow \frac{m}{6-m}>0\Leftrightarrow 0<m<6  \)

Do đó: \(0<m<6\) mà \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ 5. (THPTQG – 2019 – 103) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 4

B. 6                                   

C. Vô số                            

D. 5

Đáp án A.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & x>\frac{1}{5} \\  & m>0 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình:  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (1)

 (1 \( )\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \)   \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \frac{5x-1}{x}=m  \)

Cách 1:

 \( \Leftrightarrow m=5-\frac{1}{x} \) (2)

Xét  \( f(x)=5-\frac{1}{x} \) trên khoảng  \( \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \).

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \)

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ phương trình (2) có nghiệm  \( x>\frac{1}{5} \).

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi  \( 0<m<5 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m>0 \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \).

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Cách 2:

 \( \Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1 \) (2)

Với m = 5, phương trình (2) thành 0.x = 1 (vô nghiệm)

Với  \( m\ne 5 \), (2) \( \Leftrightarrow x=\frac{1}{5-m} \)

Xét  \( x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow ~\frac{1}{5-m}>\frac{1}{5} \) \( \Leftrightarrow \frac{m}{5(5-m)}>0\Leftrightarrow 0<m<5 \)

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 6. (THPTQG – 2019 – 101) Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. Vô số

Đáp án A.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}& x>\frac{1}{3} \\ & m>0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)={{\log }_{3}}\frac{1}{m}\Leftrightarrow \frac{x}{3x-1}=\frac{1}{m} \)

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{x}{3x-1} \)  \( với x>\frac{1}{3} \)

Có  \( {f}'(x)=-\frac{1}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>\frac{1}{3} \)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi  \( \frac{1}{m}>\frac{1}{3}\Leftrightarrow 0<m<3 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\} \).

Ví dụ 7. (THPTQG – 2019 – 104) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 5

B. 3                                   

C. Vô số                            

D. 4.

Đáp án C.

Điều kiện:  \( x>\frac{1}{4} \).

Phương trình đã cho  \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m} \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{x}{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}=f(x) \)

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x} \) có  \( {f}'(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}\left( 12x+1 \right)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>\frac{1}{4} \).

Bảng biến thiên của f(x):

Do đó phương trình có nghiệm khi m > 0.

Vậy có vô số giá trị nguyên của m.

Ví dụ 8. Cho phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số  \( m\in \mathbb{Z} \) để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

A. 2

B. 0                                   

C. 3                                   

D. 1

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x+2 > 0 \\ & 0 < mx-5\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x >-2 \\ & 5 < mx \ne 6 \\ \end{align} \right. \)

Với điều kiện trên, phương trình  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) (*)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{mx-5}}\left( x+2 \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+12=x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=5 \\ \end{align} \right. \)

Với x = 2 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<2m\ne 6\Leftrightarrow \frac{5}{2}<m\ne 3 \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge 4 \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

Với x = 5 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<5m\ne 6\Leftrightarrow 1<m\ne \frac{6}{5} \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\ge 2 \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

+ Phương trình:  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) có nghiệm duy nhất khi m = 2 hoặc m = 3.

Thử lại 

 \( m=2 \):  \( {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{2x-5}}}\sqrt{x+2} \)\(\Leftrightarrow {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{2x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\ & 0<2x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \) \( m=3: {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{3x-5}}}\sqrt{x+2} \) \(\Leftrightarrow {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{3x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\  & 0<3x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \)

Vậy có hai giá trị  \( m\in \mathbb{Z} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 9. Cho phương trình \({{\log }_{2+\sqrt{5}}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)+{{\log }_{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\)?

A. 1

B. 0

C. 3                                   

D. 4

Đáp án B.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 \( {{\log }_{2+\sqrt{5}}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)+{{\log }_{\sqrt{5}-2}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{5}+2}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)-{{\log }_{\sqrt{5}+2}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+2mx-2{{m}^{2}}>0 \\  & 2{{x}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}}={{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+2mx-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m-2{{m}^{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \begin{cases} {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}>0 \\\left[\begin{array}{l} {{x}_{1}}=2m \\ {{x}_{2}}=1-m \end{array}\right.\end{cases} \)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, xthỏa  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(2m)}^{2}}+m(2m)-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{\left( 1-m \right)}^{2}}+m\left( 1-m \right)-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}+{{\left( 1-m \right)}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4{{m}^{2}}>0 \\ & 2{{m}^{2}}+m-1>0 \\ & 5{{m}^{2}}-2m-2=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ne 0 \\ & -1 < m <\frac{1}{2} \\ & m=\frac{1-\sqrt{11}}{5}\vee m=\frac{1+\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=\frac{1-\sqrt{11}}{5} \)

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \( 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0 \) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  \( \left( 0;1 \right) \).

A. \( 0<m<\frac{1}{4} \)

B. \( 0\le m<\frac{1}{4} \)                                        

C.  \( m\le \frac{1}{4} \)            

D.  \( -\frac{1}{4}<m<0 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( 2{{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=-m  \) (1)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), với  \( t\in \left( -\infty ;0 \right) \).

 \( (1)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t=-m  \).

Xét  \( f(t)={{t}^{2}}+t  \)

 \( {f}'(t)=2t+1 \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \)

Bảng biến thiên của f(t).

Dựa vào bảng biến thiên:  \( -\frac{1}{4}<-m<0\Leftrightarrow 0<m<\frac{1}{4} \)

Ví dụ 11. Tìm m để phương trình: \( \left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0 \) có nghiệm trên  \( \left[ \frac{5}{2};4 \right] \).

A. \( m\in \mathbb{R} \)

B.  \( -3\le m\le \frac{7}{3} \)             

C.  \( m\in \emptyset  \)                             

D.  \( -3<m\le \frac{7}{3} \)

Đáp án B.

Điều kiện: x > 2.

Phương trình đã cho

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ -2{{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0 \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \). Vì  \( x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right] \).

Phương trình (1) trở thành  \( \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0 \),  \( t\in \left[ -1;1 \right] \) (2)

\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=f(t),t\in \left[ -1;1 \right]\)

Ta có: \({f}'(t)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=-2 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t\in \left[ -1;1 \right]\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(-3\le m\le \frac{7}{3}\).

Ví dụ 12. Tìm m để phương trình \( \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}+3=m  \) có nghiệm  \( x\in \left[ 1;8 \right] \) .

A. \( 6\le m\le 9 \)

B.  \( 2\le m\le 3 \)            

C.  \( 2\le m\le 6 \)            

D.  \( 3\le m\le 6 \)

Đáp án C.

 \( \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}+3=m  \) (1)

Điều kiện: x > 0 (*)

Phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2{{\log }_{2}}x+3=m  \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), với  \( x\in \left[ 1;8 \right] thì t\in \left[ 0;3 \right] \).

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-2t+3=m  \) (2)

Để phương trình (1) có nghiệm  \( x\in \left[ 1;8 \right] \)

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left[ 0;3 \right] \)

 \( \Leftrightarrow \underset{[0;3]}{\mathop \min f(t)}\,\le m\le \underset{[0;3]}{\mathop \max f(t)}\, \), trong đó  \( f(t)={{t}^{2}}-2t+3 \)

 \( \Leftrightarrow 2\le m\le 6 \)

Ví dụ 13. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right) \) có nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 2                                   

D. 5

Đáp án A.

Đặt  \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t  \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1 \) (*)

Xét hàm số  \( f(t)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có: \({f}'(t)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\)

Khi đó:  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}} \)

Bảng biến thiên:

Phương trình (*) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f({{t}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{f({{t}_{0}})}-1\le m\le \sqrt{f({{t}_{0}})}-1 \)

 \( \Rightarrow 2,068\le m\le 0,068 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!