Home Toán học Bài 1.3 – Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ nâng cao

Bài 1.3 – Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ nâng cao

by AdminTLH

Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ nâng cao

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{a}=(2;-3;1) \) và  \( \overrightarrow{b} \) là vectơ cùng phương với  \( \overrightarrow{a} \) thỏa mãn  \( \overrightarrow{a.}\overrightarrow{b}=-28 \). Khi đó  \( \left| \overrightarrow{b} \right| \) bằng bao nhiêu?

A.  \( \left| \overrightarrow{b} \right|=2\sqrt{14} \)

B.  \( \left| \overrightarrow{b} \right|=2\sqrt{7} \)

C. \( \left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{14} \)  

D.  \( \left| \overrightarrow{b} \right|=14\sqrt{2} \)

Đáp án B

Ta có: \(\vec{a},\text{ }\vec{b}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \vec{b}=k\vec{a}=\left( 2k;-3k;k \right)\)

Suy ra: \( \vec{a}.\vec{b}=-28 \) \( \Leftrightarrow 2.2k+(-3).(-3k)+1.k=-28\Leftrightarrow 14k=-28 \)
\( \Leftrightarrow k=-2 \)
\( \Rightarrow \vec{b}=\left( -4;6;-2 \right)\Rightarrow \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{14} \)

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \( \overrightarrow{a}=(1;2;-4) \). Biết hai vectơ  \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \) cùng hướng và  \( \left| \overrightarrow{b} \right|=3\left| \overrightarrow{a} \right| \). Khi đó tọa độ vectơ  \( \overrightarrow{b} \) là:

A.  \( \overrightarrow{b}=(-3;-6;12) \)

B.  \( \overrightarrow{b}=(-1;-2;4) \)

C.  \( \overrightarrow{b}=(2;6;-8) \)         

D.  \( \overrightarrow{b}=(3;6;-12) \)

Đáp án D.

Do vectơ  \( \vec{a},\text{ }\vec{b} \) cùng hướng và \( \left| {\vec{b}} \right|=3\left| {\vec{a}} \right| \) \( \Rightarrow \vec{b}=3\vec{a}=\left( 3;6;-12 \right) \)

Chú ý: Nếu  \( \vec{a}=k\vec{b} \) và  \( k>0\Rightarrow \vec{a},\text{ }\vec{b} \) cùng hướng (cùng chiều), còn  \( k<0\Rightarrow \vec{a},\text{ }\vec{b} \) ngược hướng (ngược chiều)

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ  \( \overrightarrow{a}=(1;-2;4) \) và  \( \overrightarrow{b}=({{x}_{O}};{{y}_{O}};{{z}_{O}}) \) cùng phương với vectơ  \( \overrightarrow{a} \). Biết  \( \overrightarrow{b} \) tạo với tia Oy một góc nhọn và  \( \left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{21} \). Khi đó tổng  \( {{x}_{O}}+{{y}_{O}}+{{z}_{O}} \) bằng bao nhiêu?

A. 3

B. -3

C. 6                                   

D. -6

Đáp án B

Do  \( \vec{a},\text{ }\vec{b} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \vec{b}=k\vec{a}=\left( k;-2k;4k \right) \)

 \( \Rightarrow \left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{21} \) \( \Leftrightarrow \sqrt{{{k}^{2}}+4{{k}^{2}}+16{{k}^{2}}}=\sqrt{21} \) \( \Leftrightarrow {{k}^{2}}=1\Leftrightarrow k=\pm 1\begin{matrix}{} & (*)  \\\end{matrix} \).

Mặt khác,  \( \vec{b} \) tạo với tia Oy một góc nhọn \( \Rightarrow \cos \left( \vec{b},\overrightarrow{j} \right)>0\Leftrightarrow \vec{b}. \overrightarrow{j}>0\) \( \Leftrightarrow -2k>0 \Leftrightarrow k<0\)
\( (*) \Rightarrow k=-1 \)

\( \Rightarrow \vec{b}=\left( -1;2;-4 \right) \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{0}}=-1 \\& {{y}_{0}}=2 \\& {{z}_{0}}=-4 \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{O}}+{{y}_{O}}+{{z}_{O}}=-3\)

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;-1;0), B’(2;1;3), C’(-1;2;2), D’(-2;3;2). Khi đó tọa độ điểm B là:

A. B(1;2;3)

B. B(-2;2;0)

C. B(2;-2;0)                     

D. B(4;2;6)

Đáp án C

Gọi \({A}’\left( x;y;z \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow{{B}'{A}’}=\left( x-2;y-1;z-3 \right) \)

Ta có: \(\overrightarrow{{C}'{D}’}=\left( -1;1;0 \right)\)

Do A’B’C’D’ là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{{B}'{A}’}=\overrightarrow{{C}'{D}’} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-2=-1 \\& y-1=1 \\& z-3=0 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=1 \\& y=2 \\& z=3 \\\end{align} \right. \)

\(\Rightarrow {A}’\left( 1;2;3 \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow{{A}’A}=\left( 0;-3;-3 \right) \)

Gọi B(a;b;c)  \( \Rightarrow \overrightarrow{{B}’B}=\left( a-2;b-1;c-3 \right) \)

Do ABB’A là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{{B}’B}=\overrightarrow{A’A} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a-2=0 \\& b-1=-3 \\& c-3=-3 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\& b=-2 \\& c=0 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow B\left( 2;-2;0 \right) \).

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(2;-1;2), C(-2;3;2), B’(1;2;1), D’(3;0;1). Khi đó tọa độ điểm B là:

A. B(-1;2;2)

B. B(1;-2;-2)

C. B(2;-2;1)                     

D. B(2;-1;2)

Đáp án A

Gọi I, I’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Khi đó I là trung điểm của AC  \( \Rightarrow I\left( 0;1;2 \right) \) và I’ là trung điểm của \( B’D’\Rightarrow I'(2;1;1)\Rightarrow \) \( \overrightarrow{II’}=\left( 2;0;-1 \right) \)

Gọi \( B\left( x,y,z \right) \) \( \Rightarrow \overrightarrow{BB’}=\left( 1-x;2-y;1-z \right) \)

Do \( B’BII’ \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{BB’}=\overrightarrow{II’} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1-x=2 \\& 2-y=0 \\& 1-z=-1 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=2 \\& z=2 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow B\left( -1;2;2 \right) \)

Chú ý: Tất cả 6 mặt của hình hộp đều là hình bình hành.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;-3;2), B(3;1;-1). Biết M thuộc trục hoành và cách đều A, B. Khi đó tọa độ điểm M là:

A. M(1;0;0)

B.  \( M\left( -\frac{3}{4};0;0 \right) \)

C.  \( M\left( \frac{3}{4};0;0 \right)   \)                            

D.  \( M\left( -3;0;0 \right) \)

Đáp án B

Do  \( M\in Ox\Rightarrow M\left( x;0;0 \right) \)

Khi đó:  \( MA=MB\Rightarrow M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \) \( \Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}\Rightarrow M\left( -\frac{3}{4};0;0 \right) \)

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1). Biết M là một điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B, C. Khi đó, tọa độ điểm M là:

A.  \( M\left( -\frac{5}{6};0;\frac{7}{6} \right) \)

B.  \( M\left( -\frac{7}{6};0;\frac{5}{6} \right) \)

C.  \( M\left( \frac{5}{6};0;-\frac{7}{6} \right) \)        

D.  \( M\left( 0;1;0 \right) \)

Đáp án C

Gọi  \( M\left( x;0;y \right)\in \left( Oxz \right) \).

Theo giả thiết: \( MA=MB=MC \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}} \\& M{{A}^{2}}=M{{C}^{2}} \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{(x-1)}^{2}}+{{(0-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}={{(x+1)}^{2}}+{{(0-1)}^{2}}+{{z}^{2}} \\& {{(x-1)}^{2}}+{{(0-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}={{(x-3)}^{2}}+{{(0+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}} \\\end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4x+2z=1 \\& x-z=2 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{5}{6} \\& z=-\frac{7}{6} \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow M\left( \frac{5}{6};0;-\frac{7}{6} \right) \)

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;2;3), B(-2;0;1), C(2;2;3). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó tọa độ điểm I là:

A. I(1;-1;2)

B. I(1;2;-1)

C. I(1;-2;3)                      

D. I(1;0;1)

Đáp án D

Gọi  \(I\left( x;y;z \right)\Rightarrow IA=IB=IC\begin{matrix}{} & (*)  \\ \end{matrix} \)

 và  \( \overrightarrow{AB},\text{ }\overrightarrow{AC},\text{ }\overrightarrow{AI} \) đồng phẳng (**)

Ta có: \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\& I{{A}^{2}}=I{{C}^{2}} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}} \\& {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}= {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x+y+z=2 \\& x=1 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& y+z=1 \\& x=1 \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & (1)  \\\end{matrix} \)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;-2 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( 2;0;0 \right) \\
& \overrightarrow{AI}=\left( x;y-2;z-3 \right) \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 0;-4;4 \right) \)

 \( \xrightarrow{(**)}-4\left( y-2 \right)+4\left( z-3 \right)=0 \)\( \Leftrightarrow y-z=-1\begin{matrix}{} & (2)  \\\end{matrix} \)

Từ (1) và (2), suy ra: x = 1, y = 0, z = 1  \( \Rightarrow I(1;0;1) \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!