Home Toán học Bài 1.2 – Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ cơ bản

Bài 1.2 – Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ cơ bản

by AdminTLH

Bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ – điểm và vectơ cơ bản

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;1 \right) \) và A(1; -2; 4). Khi đó tọa độ điểm B là:

A. B(1; -1; -3)

B. B(-1; 1; 3)

C. B(-3; 5; -5)                 

D. B(3; -5; 5)

Đáp án D

Cách 1:

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)=\left( 2;-3;1 \right) \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{B}}=2+1=3 \\& {{y}_{B}}=-3+(-2)=-5 \\& {{z}_{B}}=1+4=5 \\\end{align} \right. \)\( \Rightarrow B\left( 3;-5;5 \right) \)

Cách 2: Thay ngược từ các đáp án

+ Với  \( B(1;-1;-3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;1;7 \right) \) (loại A)

+ Với  \( B(-1;1;3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-1 \right) \) (loại B)

+ Với  \( B(-3;5;-5)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -5;8;-6 \right)  \) (loại C)

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} \),  \( \overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k} \). Hỏi trong các vectơ sau đây là vectơ cùng phương với vectơ  \( \overrightarrow{AB} \)?

A.  \( \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;-4;4) \)

B.  \( \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;4;4) \)

C.  \( \overrightarrow{{{u}_{3}}}=(1;2;-2)  \)                  

D.  \( \overrightarrow{{{u}_{4}}}=(-2;1;-2) \)

Đáp án B

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}=\left( 1;2;-1 \right) \\& \overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}=\left( 2;0;-3 \right) \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& A\left( 1;2;-1 \right) \\& B\left( 2;0;-3 \right) \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;-2 \right) \) cùng phương với \( {{\vec{u}}_{2}}=-2\overrightarrow{AB}=\left( -2;4;4 \right) \)

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \( \overrightarrow{a}=(1;-1;2) \),  \( \overrightarrow{b}=(2;1;-3) \),  \( \overrightarrow{c}=(3;0;1) \),  \( \overrightarrow{d}=(0;-3;7) \). Biết  \( \overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c} \). Khi đó tổng m + n + p bằng bao nhiêu?

A. 1

B. -1                                 

C. 2                                   

D. -2

Đáp án A

Ta có: \( \overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+2n+3p=0 \\& -m+n+0p=-3 \\& 2m-3n+p=7 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m=2 \\& n=-1 \\& p=0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow m+n+p=1 \)

Ví dụ 4. Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-2;5). Khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc M’ của M trên mặt phẳng (Oxy) là:

A. M’(0;0;5)

B. M’(1;-2;0)

C. M’(1;0;5)                     

D. M’(0;-2;5)

Đáp án B

Ta có: \(M\left( 1;-2;5 \right)\), suy ra hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy) là \(M’\left( 1;-2;0 \right)\)

Chú ý: Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) trên các mặt phẳng \(\left( Oxy \right),\text{ }\left( Oyz \right),\text{ }\left( Oxz \right)\) lần lượt là \({{M}_{1}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right),\text{ }{{M}_{2}}\left( 0;{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\text{ }{{M}_{3}}\left( {{x}_{0}};0;{{z}_{0}} \right)\) (không có tên trên trục nào trong mặt thì thành phần tương ứng bằng 0)

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;3). Khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc M’ của M trên trục Ox là:

A. M’(0;0;3)

B. M’(0;-1;0)

C. M’(4;0;0)                     

D. M’(2;0;0)

Đáp án D

Ta có:  \( M\left( 2;-1;3 \right) \), suy ra hình chiếu của M trên Ox là  \( M’\left( 2;0;0 \right) \)

Chú ý: Hình chiếu vuông góc của điểm  \( M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) \) trên các trục  \( Ox,\text{ }Oy,\text{ }Oz \) lần lượt là  \( {{M}_{1}}\left( {{x}_{0}};0;0 \right) \),  \( {{M}_{2}}\left( 0;{{y}_{0}};0 \right) \),  \( M\left( 0;0;{{z}_{0}} \right) \)

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;1;0), B(3;0;4), C(1;-1;2). Chu vi tam giác ABC là:

A.  \( 6+\sqrt{26} \)

B.  \( 3+2\sqrt{26} \)

C.  \( 3+\sqrt{5}+\sqrt{26} \)

D.  \( \sqrt{65} \)

Đáp án A

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( 3;-1;4 \right) \),  \( \overrightarrow{AC}=\left( 1;-2;2 \right) \),  \( \overrightarrow{BC}=\left( -2;-1;-2 \right) \)

Khi đó:  \( AB=\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{26} \),  \( AC=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}=3 \),  \( BC=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}=3 \)

Suy ra chu vi  \( \Delta ABC \) là:  \( AB+AC+BC=6+\sqrt{26} \).

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k} \) và  \( B(m;m-1;-4) \). Tìm tất cả các giá trị của m để độ dài đoạn AB = 3?

A. m = 1

B. m = 4

C. m = -1                        

D. m = 1 hoặc m = 4

Đáp án D

Ta có:  \( \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\Rightarrow A\left( 3;1;-2 \right) \) và  \( B\left( m;m-1;-4 \right) \)

Cách 1:

Khi đó  \( \overrightarrow{AB}=\left( m-3;m-2;-2 \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=9 \)

\( \Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}=9 \) \( \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-10m+8=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\& m=4 \\\end{align} \right. \)

Cách 2: Thử lần lượt các đáp án

Với  \( m=1\Rightarrow B\left( 1;0;-4 \right)\) \( \Rightarrow AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=3 \) (nhận)

Với  \( m=4\Rightarrow B\left( 4;3;-4 \right) \) \( \Rightarrow AB=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=3 \) (nhận)

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;-1;3), B(-1;2;1), C(-3;5;-4). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A.  \( G\left( -\frac{3}{2};3;0 \right) \)

B.  \( G\left( -3;6;0 \right) \)

C.  \( G\left( -1;2;0 \right) \)

D.  \( G\left( -\frac{1}{3};\frac{2}{3};0 \right) \)

Đáp án C

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\frac{1+(-1)+(-3)}{3}=-1 \\& {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\frac{-1+2+5}{3}=2 \\& {{z}_{G}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3}=\frac{3+1+(-4)}{3}=0 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow G\left( -1;2;0 \right) \)

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{a}=(-1;2;-3) \),  \( \overrightarrow{b}=(2;-3;2) \),  \( \overrightarrow{c}=(0;-1;2) \). Khi đó tọa độ của vectơ  \( \overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c} \) là:

A.  \( \overrightarrow{d}=(-5;5;1) \)

B. \( \overrightarrow{d}=(-5;5;-1) \)

C. \( \overrightarrow{d}=(5;-5;1) \)             

D. \( \overrightarrow{d}=(-5;-5;1) \)

Đáp án B

Gọi  \( \vec{d}=\left( x;y;z \right) \)

 \( \overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1-2.2+3.0=-5 \\& y=2-2.(-3)+3(-1)=5 \\& z=(-3)-2.2+3.2=-1 \\\end{align} \right. \)\( \Rightarrow \vec{d}=\left( -5;5;-1 \right) \)

Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;1;-1), B(2;0;1), C(1;-3;2). Giá trị tích vô hướng của  \( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \) bằng:

A. -22

B. 14

C. 10                                

D. 22

Đáp án D

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 4;-1;2 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( 3;-4;3 \right) \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4.3+(-1).(-4)+2.3=22 \)

Ví dụ 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( \overrightarrow{a}=(2;-1;3) \), \( \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{k}+2\overrightarrow{i} \). Biết  \( \overrightarrow{c}=\left[ 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a} \right] \). Khi đó tọa độ vectơ  \( \overrightarrow{c} \) là:

A.  \( \overrightarrow{c}=(1;-8;2) \)

B.  \( \overrightarrow{c}=(-1;-8;-2) \)

C.  \( \overrightarrow{c}=(1;8;2) \)            

D.  \( \overrightarrow{c}=(-1;8;-2) \)

Đáp án C

Ta có: \(\vec{b}=-\overrightarrow{k}+2\overrightarrow{i}=\left( 2;0;-1 \right)\)

Khi đó \(2\vec{a}-\vec{b}=\left( 2;-2;7 \right)\)

 \( \Rightarrow \left[ 2\vec{a}-\vec{b},\vec{a} \right]= \) \( \left( \left| \begin{matrix}-2 & 7  \\-1 & 3  \\\end{matrix} \right|;-\left| \begin{matrix}2 & 7  \\2 & 3  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}2 & -2  \\2 & -1  \\\end{matrix} \right| \right) \) \( =\left( 1;8;2 \right) \)

Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khi nói đến tích vô hướng, đâu là đẳng thức không đúng?

A.  \( \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=-\left[ \overrightarrow{b},\overrightarrow{a} \right] \)

B.  \( \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right]=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]+\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{c} \right] \)

C.  \( \overrightarrow{a}.\left[ \overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \right]=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right].\overrightarrow{c} \)

D.  \( \left[ \overrightarrow{a},k\overrightarrow{a} \right]=0 \) với k là số thực khác 0.

Đáp án D

Ta có:  \( \vec{a},\text{ }k\vec{a} \) là 2 vectơ cùng phương trên  \( \left[ \vec{a},\text{ }k\vec{a} \right]=\overrightarrow{0} \)

Suy ra D sai

Ví dụ 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  \( A(0;-1;1) \),  \( B(-2;1;-1) \),  \( C(-1;3;2) \). Biết ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

A.  \( D(-1;-3-2) \)

B.  \( D\left( -1;1;\frac{2}{3} \right) \)

C.  \( D(1;3;4) \)  

D.  \( D(1;1;4) \)

Đáp án D

Gọi  \( D(x;y;z)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left( x;y+1;z-1 \right) \). Ta có:  \( \overrightarrow{BC}=\left( 1;2;3 \right) \)

Khi đó ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=1 \\& y+1=2 \\& z-1=3 \\\end{align} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=1 \\& y=1 \\& z=4 \\\end{align} \right.\Rightarrow D\left( 1;1;4 \right) \)

Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. A(1;1;-1), B(-1;0;2), C(0;-1;4)

B. E(0;1;1), F(3;-2;4), H(2;-1;2)

C. M(1;0;2), N(7;-6;5), P(-1;2;1)

D. I(-1;0;-2), J(1;2;-6), K(-2;-1;1)

Đáp án C

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;3 \right),\text{ }\overrightarrow{AC}=\left( -1;-2;5 \right) \) \( \Rightarrow \frac{-2}{-1}\ne \frac{-1}{-2}\Rightarrow A,\text{ }B,C \) không thẳng hàng (loại A).

 \( \overrightarrow{EF}=\left( 3;-3;2 \right),\text{ }\overrightarrow{EH}=\left( 2;-2;1 \right) \) \( \Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{-3}{-2}\ne \frac{3}{1}\Rightarrow E,\text{ }F,\text{ }H \) không thẳng hàng (loại B)

 \( \overrightarrow{MN}=\left( 6;-6;3 \right),\text{ }\overrightarrow{MP}=\left( -2;2;-1 \right) \) \( \Rightarrow \frac{6}{-2}=\frac{-6}{2}=\frac{3}{-1}\Rightarrow M,\text{ }N,\text{ }P \) thẳng hàng

Chú ý: Nếu C sai thì ta chọn đáp án D

Ví dụ 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;-3), B(1;0;2), C(x;y;-2) thẳng hàng. Khi đó tổng x + y bằng bao nhiêu?

A. x + y = 1

B. x + y = 17

C.  \( x+y=\frac{11}{5} \)

D.  \( x+y=-\frac{11}{5} \)

Đáp án A

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;5 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( x+1;y-2;1 \right) \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{1}{5} \)
\( \Rightarrow x=-\frac{3}{5};\text{ }y=\frac{8}{5}\) \( \Rightarrow x+y=1 \)

Ví dụ 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;-3), B(4;6;2), C(5;4;-1). Gọi  \( \widehat{BAC}=\varphi \) . Khi đó  \( \varphi \)  bằng bao nhiêu độ?

A.  \( \varphi ={{30}^{O}} \)

B.  \( \varphi ={{45}^{O}} \)

C.  \( \varphi ={{60}^{O}} \)

D.  \( \varphi ={{90}^{O}} \)

Đáp án A

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 3;4;5 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( 4;2;2 \right) \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \cos BAC=\cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|} \) \( =\frac{3.4+4.2+5.2}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(\Rightarrow \widehat{BAC}={{30}^{O}}\) hay \(\varphi ={{30}^{O}}\)

Ví dụ 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{120}^{O}}\) và \(\left| \overrightarrow{a} \right|=3\), \(\left| \overrightarrow{b} \right|=4\). Khi đó, \(\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|\) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \(\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{13}\)

B. \(\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{37}\)

C. \(\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=1\)                                  

D. \(\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=5\)

Đáp án B.

Ta có:

 \( {\left| \vec{a}-\vec{b} \right|}^{2}={{\left( \vec{a}-\vec{b} \right)}^{2}}={{{\vec{a}}}^{2}}-2\vec{a}\vec{b}+{{{\vec{b}}}^{2}} \)\( ={{\left| {\vec{a}} \right|}^{2}}+{{\left| {\vec{b}} \right|}^{2}}-2\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|\cos \left( \left| {\vec{a}} \right|,\left| {\vec{b}} \right| \right) \)\( ={{3}^{2}}+{{4}^{2}}-2.3.4\left( -\frac{1}{2} \right)=37 \)
\( \Rightarrow \left| \vec{a}-\vec{b} \right|=\sqrt{37} \)

Ví dụ 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=(1;-2;3)\). Biết \(\overrightarrow{b}=({{x}_{O}};{{y}_{O}};-6)\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\). Khi đó tổng \({{x}_{O}}+{{y}_{O}}\) bằng bao nhiêu?

A.\({{x}_{O}}+{{y}_{O}}=-2\)                               

B.\({{x}_{O}}+{{y}_{O}}=2\)            

C.\({{x}_{O}}+{{y}_{O}}=0\)      

D. \({{x}_{O}}+{{y}_{O}}=-1\)

Đáp án B

Do \(\overrightarrow{b}=({{x}_{O}};{{y}_{O}};-6)\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}=(1;-2;3)\)  \( \Rightarrow \frac{{{x}_{0}}}{1}=\frac{{{y}_{0}}}{-2}=\frac{-6}{3}=-2\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}=2 \)

Ví dụ 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \( \overrightarrow{a}=(1;-1;0) \),  \( \overrightarrow{b}=(2;1;-1) \),  \( \overrightarrow{c}=(m;0;2m-1) \). Khi đó để ba vectơ \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \),  \( \overrightarrow{c} \) đồng phẳng thì giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu?

A.  \( m=\frac{7}{3} \)

B.  \( m=\frac{1}{2} \)

C.  \( m=\frac{3}{7} \)        

D.  \( m=\frac{2}{7} \)

Đáp án C

Ta có: \( \left[ \vec{a},\vec{b} \right]=\left( 1;1;3 \right)\) \( \Rightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right].\vec{c}=m+0+3\left( 2m-1 \right)=7m-3 \)

Khi đó ba vectơ  \( \vec{a},\text{ }\vec{b},\text{ }\vec{c} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right].\vec{c}=0 \) \( \Leftrightarrow 7m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{7} \)

Ví dụ 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hỏi trong các trường hợp sau, đâu là trường hợp ba vectơ  \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \),  \( \overrightarrow{c} \) không đồng phẳng?

A.  \( \overrightarrow{a}=(-1;0;1) \),  \( \overrightarrow{b}=(2;1;1) \),  \( \overrightarrow{c}=(1;1;2) \)

B.  \( \overrightarrow{a}=(2;-1;0) \),  \( \overrightarrow{b}=(1;0;-1) \),  \( \overrightarrow{c}=(-1;2;3) \)

C.  \( \overrightarrow{a}=(1;1;2) \),  \( \overrightarrow{b}=(0;-1;1) \),  \( \overrightarrow{c}=(2;1;5) \)

D.  \( \overrightarrow{a}=(2;1;0) \),  \( \overrightarrow{b}=(-1;-1;2) \),  \( \overrightarrow{c}=(1;3;2) \)

Đáp án B

Ta sẽ lần lượt thử các phương án.

Với A.  \( \overrightarrow{a}=(-1;0;1) \),  \( \overrightarrow{b}=(2;1;1) \),  \( \overrightarrow{c}=(1;1;2) \) \( \Rightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right]=\left( -1;3;-1 \right) \) \( \Rightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right].\vec{c}=(-1).1+3.1+(-1).2=0 \)

\( \Rightarrow \vec{a},\text{ }\vec{b},\text{ }\vec{c} \) đồng phẳng (loại A)

Với B.  \( \overrightarrow{a}=(2;-1;0) \),  \( \overrightarrow{b}=(1;0;-1) \),  \( \overrightarrow{c}=(-1;2;3) \) \( \Rightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right]=\left( 1;2;1 \right) \) \( \Rightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right].\vec{c}=1(-1)+2.2+1.3=6\ne 0 \)

 \( \Rightarrow \vec{a},\text{ }\vec{b},\text{ }\vec{c} \) không đồng phẳng

Ví dụ 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;-1;0), B(2;1;1), C(-1;0;-1), D(m;m-3;1). Tìm tất cả các giá trị của m để ABCD là một tứ diện.

A.  \( m\ne \frac{5}{2} \)

B.  \( m\ne \frac{2}{5} \)

C.  \( m\in R \)                     

D.  \( m\ne 3 \)

Đáp án A

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 1;2;1 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( -2;1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AD}=\left( m-1;m-2;1 \right) \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -3;-1;5 \right) \)

 \( \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]. \overrightarrow{AD}=\) \( -3\left( m-1 \right)-\left( m-2 \right)+5.1=-4m+10 \)

Để ABCD là một tứ diện thì \( \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0 \) \( \Leftrightarrow -4m+10\ne 0\Leftrightarrow m\ne \frac{5}{2} \)

Ví dụ 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ  \( \overrightarrow{a}=(1;m;-2) \),  \( \overrightarrow{b}=(4;-2;3) \). Để  \( \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b} \) thì giá trị tham số thực m bằng bao nhiêu?

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1                        

D. m = -2

Đáp án C

 \( \vec{a}\bot \vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=0 \) \( \Leftrightarrow 1.4+m.(-2)+(-2).3=0 \) \( \Leftrightarrow m=-1 \)

Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0-3), B(2;-1;1) và  \( C(m+1;{{m}^{2}}+4;2m-4) \). Biết rằng trong tất cả các giá trị thực của m để tam giác ABC vuông tại A thì  \( m={{m}_{O}} \) là giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị  \( {{m}_{O}} \) bằng bao nhiêu?

A. -1

B. 1

C. 8                                   

D. 9

Đáp án B

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;4 \right) \\& \overrightarrow{AC}=\left( m;{{m}^{2}}+4;2m-1 \right) \\\end{align} \right. \)

Do  \( \Delta ABC \) vuông tại A \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0 \) \( \Leftrightarrow m-\left( {{m}^{2}}+4 \right)+4\left( 2m-1 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-9m+8=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\& m=8 \\\end{align} \right. \) \( \xrightarrow{\min (m)={{m}_{0}}}{{m}_{0}}=1 \)

Ví dụ 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-1), B(0;4;1) và C(m;2m+5;1). Biết  \( m={{m}_{O}} \) là giá trị để tam giác ABC vuông tại C. Khi đó giá trị  \( {{m}_{O}} \) gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 0

B. -3                                 

C. 3                                   

D. 

Đáp án A

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AC}=\left( m-2;2m+5;2 \right) \\& \overrightarrow{BC}=\left( m;2m+1;0 \right) \\\end{align} \right. \)

Do  \( \Delta ABC \) vuông tại C  \( \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0 \)

 \( \Leftrightarrow (m-2)m+(2m+5)(2m+1)+2.0=0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1=0 \) \( \Leftrightarrow m=-1={{m}_{0}} \)

Trong các phương án thì  \( m_0 = -1 \) gần 0 nhất

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!