Home Toán học Bài 4.4 – Bài tập đồ thị hàm số Logarit

Bài 4.4 – Bài tập đồ thị hàm số Logarit

by AdminTLH

Bài tập đồ thị hàm số Logarit

Ví dụ 1. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị hợp với hình vẽ bên?

A.  \( y={{e}^{x}} \)

B.  \( y={{e}^{-x}} \)

C.  \( y={{\log }_{\sqrt{2}}}x \)

D.  \( y={{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x \)

Đáp án C

Do đường cong đi qua điểm (1;0) và nằm phía phải trục tung Oy, suy ra đây là đồ thị của hàm số logarit có dạng  \( y={{\log }_{a}}x \), suy ra  \( y={{\log }_{\sqrt{2}}}x \) hoặc \( y={{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x \)

Do đồ thị có hướng đi lên khi x tăng, suy ra hàm số đồng biến  \( \Rightarrow a>1\Rightarrow y={{\log }_{\sqrt{2}}}x \)

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết f(x) là một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm f(x).

A. \(f\left( x \right)={{\log }_{\frac{3}{\pi }}}x\)

B. \(f\left( x \right)={{x}^{\frac{3}{\pi }}}\)

C. \(f\left( x \right)=\ln x\)

D. \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\)

Đáp án C

Vì  \( f(x)={{x}^{\frac{3}{\pi }}} \) có tập xác định  \( D=\left( 0;+\infty  \right) \)  \( \Rightarrow f(x)={{x}^{\frac{3}{\pi }}}>0,\forall x>0 \) và  \( f(x)={{e}^{x}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị của hai hàm số  \( f(x)={{x}^{\frac{3}{\pi }}} \) và  \( f(x)={{e}^{x}} \) phải nằm trọn phía trên trục Ox, suy ra loại B, D.

Do đồ thị có hướng đi lên khi x tăng, suy ra hàm số đồng biến  \( \Rightarrow a>1\Rightarrow f(x)=\ln x \)

Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 < a < 1 < b

B. 0 < b < 1 < a

C. 0 < a < b < 1

D. 1 < b< a

Đáp án A

Do  \( y={{a}^{x}},\forall x\in \mathbb{R} \)  \( \Rightarrow \) đồ thị nằm trọn phía trên Ox là của hàm số  \( y={{a}^{x}} \). Do đồ thị này có hướng “đi xuống” khi x tăng (nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)) nên \(0<a<1\) (*).

Đồ thị còn lại là của hàm \(y={{\log }_{b}}x\) và có hướng “đi lên” khi x tăng (đồng biến) nên \(b>1\) (**).

Từ (*) và (**), suy ra: \(0<a<1<b\)

Ví dụ 4. Cho đồ thị hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 < a < 1 và 0 < b < 1

B. a > 1 và b > 1

C. 0 < b< 1 < a

D. 0 < a < 1 < b

Đáp án C

Do \( y={{a}^{x}},\forall x\in \mathbb{R} \)  \( \Rightarrow \)  đồ thị nằm trọn phía trên trục Ox là của hàm số  \( y={{a}^{x}} \). Do đồ thị này có hướng “đi lên” khi x tăng (đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)) nên  \( a>1 \) (*).

Đồ thị còn lại là của hàm số  \( y={{\log }_{b}}x \) và có hướng “đi xuống” khi x tăng (nghịch biến) nên  \( 0<b<1 \) (**).

Từ (*) và (**), suy ra:  \( 0<b<1

Ví dụ 5. Cho hai hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{a}}x \) với a > 0; a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) có tập xác định  \( D=\left( 0;+\infty \right) \)

B. Đồ thị hàm số  \( y={{a}^{x}} \) nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang

C. Hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{a}}x \) đồng biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi a > 1.

D. Đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) nằm phía trên trục hoành

Đáp án D

Hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) có tập xác định  \( D=\left( 0;+\infty  \right) \) và miền giá trị là  \( \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) nằm bên phải trục tung Oy và nằm cả phía dưới trục hoành Ox. Do đó D sai.

Ví dụ 6. (Đề Tham khảo – 2017) Cho hàm số \(f(x)=xlnx\). Một trong bốn đồ thị cho trong  bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số \(y={{f}^{/}}(x)\). Tìm đồ thị đó.

Đáp án C

Ta có:  \( y={f}'(x)=\ln x+1 \), đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) (loại B, D).

Do đồ thị không đi qua điểm O(0;0) (loại A)

Ví dụ 7. Cho hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các kết luận dưới đây, đâu là kết luận đúng?

A. 0 < a < 1 < b

B. 0 < b < a < 1

C. 0 < a < b < 1

D. 0 < b < 1 < a

Đáp án D

Từ đồ thị suy ra  \( y={{\log }_{a}}x \) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) (đồ thị có hướng đi lên khi x tăng)  \( \Rightarrow a>1 \).

Và  \( y={{\log }_{b}}x \) nghịch biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) (đồ thị có hướng đi xuống khi x tăng)  \( \Rightarrow 0<b<1 \).

Suy ra:  \( 0<b<1

Ví dụ 8. Đồ thị của hai hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{a}}x \) đối xứng nhau qua đường thẳng nào dưới đây?

A.  \( x = 0 \)

B.  \( y = x \)

C.  \( y = -x   \)                         

D.  \( y = 1 \)

Đáp án B

Dựa vào tính chất đồ thị ta có đồ thị hàm số  \( y={{a}^{x}} \) và  \( y={{\log }_{a}}x \) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất hay y = x.

Ví dụ 9. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Các hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \),  \( y={{\log }_{b}}x \),  \( y={{\log }_{c}}x \) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.  \( y={{\log }_{b}}x<0\Leftrightarrow x\in \left( 1;+\infty \right) \)

B. Hàm số  \( y={{\log }_{c}}x \) đồng biến trên (0;1)

C. Hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) nghịch biến trên (0;1)

D. b > a > c

Đáp án D

Từ đồ thị suy ra hàm  \( y={{\log }_{a}}x \) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) hay đồng biến trên  \( (0;1) \), suy ra C sai.

Và  \( y={{\log }_{b}}x \) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \), suy ra \( b>1 \) nên  \( {{\log }_{b}}x<0\overset{b>1}{\longleftrightarrow}x\in (0;1) \), suy ra A sai.

Đồ thị có hướng đi xuống khi x tăng nên hàm  \( y={{\log }_{c}}x \) nghịch biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \), suy ra B sai.

Chú ý: Ta có thể nhìn thấy rõ b > a > c qua việc kẻ thêm đường thẳng y = 1

Ví dụ 10. Trong các số thực dương a, b, c, d khác 1. Đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \);  \( y={{\log }_{b}}x \);  \( y={{\log }_{c}}x \) và  \( y={{\log }_{d}}x \) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a > b > 1 > c > d

B. d > c > 1 > a > b

C. a > b > 1 > d > c

D. b > a > 1 > d > c

Đáp án D

Kẻ đường thẳng y = 1 cắt các đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x;y={{\log }_{b}}x;y={{\log }_{c}}x\) và \(y={{\log }_{d}}x\) lần lượt tại các điểm có hoành độ là a, b, c, d (như hình vẽ). Lúc này hình vẽ cho ta biết luôn thứ tự của a, b, c, d là \(b>a>1>d>c\)

Ví dụ 11. (Chuyên Vinh – Lần 2) Cho các hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) lần lượt tại H, M và N. Biết rằng HM và MN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a = 7b

B. a = 2b

C. a = b7

D. a = b2

Đáp án D

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& HN={{\log }_{b}}7 \\& HM={{\log }_{a}}7 \\\end{align} \right. \)  \( \xrightarrow{HM=MN}HN=2HM \)  \( \Leftrightarrow {{\log }_{b}}7=2{{\log }_{a}}7\Leftrightarrow \frac{1}{{{\log }_{7}}b}=\frac{2}{{{\log }_{7}}a} \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}a=2{{\log }_{7}}b \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}a={{\log }_{7}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow a={{b}^{2}} \)

Ví dụ 12. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \),  \( y={{b}^{x}} \) và  \( y={{c}^{x}} \) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. c < a < b

B. b < c < a

C. a < b < c

D. c < b < a

Đáp án A

+ Kẻ đường thẳng x = 1 cắt các đồ thị hàm số  \( y={{b}^{x}};y={{c}^{x}} \) lần lượt tại các điểm tung độ là b, c (như hình vẽ). Lúc này dựa vào hình vẽ ta biết: \( c < 1 < b\begin{matrix}{} & (*)  \\\end{matrix}. \)

+ Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị  \( y={{\log }_{a}}x \) tại điểm có hoành độ là a (như hình vẽ). So sánh a, b trên hình vẽ ta được:  \( 1<a

Từ (*) và (**) suy ra:  \( c<a

Chú ý: Nếu cần so sánh với cả số 1 thì ta có kết quả “chặt hơn” là: \( c<1<a

Ví dụ 13. Cho hàm số  \( y={{a}^{x}} \),  \( y={{\log }_{b}}x \) lần lượt có đồ thị (C1), (C2) như hình vẽ bên. Đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \) cắt (C1), trục Oy, (C2) lần lượt tại M, H, N. Biết H là trung điểm của MN và MNPQ có diện tích bằng  \( \frac{3}{2} \) (với P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N, M trên trục hoành). Giá trị của biểu thức  \( T={{a}^{3}}+4b \) bằng bao nhiêu?

A. 16

B. 15

C. 13

D. 17

Đáp án C

Do N thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) nên gọi \(N\left( {{x}_{0}};\frac{1}{2} \right)\) với \({{x}_{0}}>0\). Khi đó: \(\left\{ \begin{align}& HN={{x}_{0}} \\& NP=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\).

Suy ra: \(\frac{3}{2}={{S}_{MNPQ}}=NM.NP\) \(=2HN.NP=2{{x}_{0}}.\frac{1}{2}={{x}_{0}}\).

Vậy \({{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Vì H là trung điểm của MN \(\Rightarrow M,N\) đối xứng nhau qua trục Oy \(\Rightarrow M\left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Do \( \left\{ \begin{align}& M\in ({{C}_{1}}) \\& N\in ({{C}_{2}}) \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2}={{a}^{-\frac{3}{2}}} \\& \frac{1}{2}={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{2}{3}}}=a \\& 2={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{2}^{\frac{2}{3}}} \\& b={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{3}}=4 \\& 4b=9 \\\end{align} \right. \)

\(\Rightarrow T={{a}^{3}}+4b=13\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!