Home Toán học Bài tập Bất phương trình Mũ chứa tham số m – Mức vận dụng

Bài tập Bất phương trình Mũ chứa tham số m – Mức vận dụng

by AdminTLH

Bài tập Bất phương trình Mũ chứa tham số m – Mức vận dụng

Ví dụ 1. (Đề Tham Khảo – 2019) Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình  \( f(x)<{{e}^{x}}+m  \) đúng với mọi  \( x\in \left( -1;1 \right) \) khi và chỉ khi

A. \( m>f(-1)-\frac{1}{e} \)

B.  \( m\ge f(-1)-\frac{1}{e} \)             

C.  \( m>f(1)-e  \)                                         

D.  \( m\ge f(1)-e  \)

Đáp án B.

Ta có:  \( f(x)<{{e}^{x}}+m\Leftrightarrow m>f(x)-{{e}^{x}} \)

Xét hàm số  \( g(x)=f(x)-{{e}^{x}} \);  \( {g}'(x)={f}'(x)-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \).

Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên  \( \left( -1;1 \right) \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m\ge \max g(x)=g(-1)=f(-1)-\frac{1}{e} \)

Ví dụ 2. Cho hàm số y={f}'(x) liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Bất phương trình  \( f(x)<{{e}^{{{x}^{2}}}}+m  \) đúng với mọi  \( x\in \left( -1;1 \right) \) khi và chỉ khi

A. \( m\ge f(0)-1 \)

B.  \( m>f(-1)-e  \)            

C.  \( m>f(0)-1 \)             

D.  \( m\ge f(-1)-e  \)

Đáp án C.

\(f(x)<{{e}^{{{x}^{2}}}}+m\Leftrightarrow f(x)-{{e}^{{{x}^{2}}}}<m\)

Xét hàm số:  \( g(x)=f(x)-{{e}^{{{x}^{2}}}} \);  \( {g}'(x)={f}'(x)-2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \).

Trên khoảng  \( \left( -1;0 \right) \), ta có: \( \left\{ \begin{align}  & {f}'(x)>0 \\ & -2x>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {g}'(x)>0,\forall x\in \left( -1;0 \right) \)

Trên khoảng (0;1), ta có: \( \left\{ \begin{align} & {f}'(x)<0 \\  & -2x<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {g}'(x)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right) \)

Tại điểm x = 0, ta có: \( \left\{ \begin{align} & {f}'(x)=0 \\ & -2x{{e}^{{{x}^{2}}}}=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {g}'(x)=0 \)

Suy ra bảng biến thiên của g’(x):

Từ bảng biến thiên, ta có: \( \displaystyle \max_{(-1;1)}g(x)=f(0)-1 \)

Do đó, bất phương trình m > g(x) đúng với mọi  \( x\in \left( -1;1 \right) \) khi và chỉ khi  \( m> \displaystyle \max_{(-1;1)}g(x)=f(0)-1 \).

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  \(\mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình:  \( {{9.6}^{f(x)}}+\left( 4-{{f}^{2}}(x) \right){{.9}^{f(x)}}\le \left( -{{m}^{2}}+5m \right){{.4}^{f(x)}} \) đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \) là:

A. 10

B. 4                                   

C. 5                                   

D. 9

Đáp án B.

Ta có:  \( {{9.6}^{f(x)}}+\left( 4-{{f}^{2}}(x) \right){{.9}^{f(x)}}\le \left( -{{m}^{2}}+5m \right){{.4}^{f(x)}} \)

 \( \Leftrightarrow \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}+9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le -{{m}^{2}}+5m  \) (1)

Từ đồ thị hàm số suy ra:  \( f(x)\le -2,\forall x\in \mathbb{R} \)

Do đó:  \( \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( 9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le 9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=4,\forall x\in \mathbb{R} \)

Suy ra:  \( \Leftrightarrow \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}+9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le 4,\forall x\in \mathbb{R} \)

Để (1) có nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \) thì  \( 4\le -{{m}^{2}}+5m\Leftrightarrow 1\le m\le 4 \)

Mà  \( \xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} \)

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình  \( f(x)<3.{{e}^{x+2}}+m  \) có nghiệm  \( x\in \left( -2;2 \right) \) khi và chỉ khi:

A. \( m\ge f(-2)-3 \)

B.  \( m>f(-2)-3{{e}^{4}} \)                                    

C.  \( m\ge f(2)-3{{e}^{4}} \) 

D.  \( m>f(-2)-3 \)

Đáp án B.

Bất phương trình  \( m>f(x)-3.{{e}^{x+2}}=g(x) \)

Ta có:  \( {g}'(x)={f}'(x)-3.{{e}^{x+2}}<3-3.{{e}^{-2+2}}=0,\forall x\in \left( -2;2 \right) \)

Do đó:  \( g(x)>g(2)=f(2)-3.{{e}^{4}},\forall x\in \left( -2;2 \right) \)

Vậy  \( m>f(2)-3{{e}^{4}} \) thì phương trình có nghiệm trên khoảng  \( \left( -2;2 \right) \).

Ví dụ 5. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình  \( f\left( {{e}^{x}} \right)<m\left( 3{{e}^{x}}+2019 \right) \) có nghiệm  \( x\in \left( 0;1 \right) \) khi và chỉ khi

A. \( m>-\frac{4}{1011} \)

B.  \( m\ge -\frac{4}{3e+2019} \)             

C.  \( m>-\frac{2}{1011} \)                         

D.  \( m>-\frac{f(e)}{3e+2019} \)

Đáp án C.

Đặt  \( t={{e}^{x}} \) (t > 0). Bất phương trình có dạng:  \( f(t)<m\left( 3t+2019 \right)\Leftrightarrow \frac{f(t)}{3t+2019} \)

Ta có:  \( x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow t={{e}^{x}}\in \left( 1;e \right) \)

Xét hàm số  \( g(t)=\frac{f(t)}{3t+2019} \) có  \( {g}'(t)=\frac{{f}'(t)\left( 3t+2019 \right)-3f(t)}{{{\left( 3t+2019 \right)}^{2}}} \).

Dựa vào đồ thị hàm số f(x), ta thấy: f(x) đồng biến trên khoảng (1;e) và f(x) < 0,  \( \forall x\in \left( 1;e \right) \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)<0 \\  & {f}'(x)>0 \\ \end{align} \right.,\forall x\in \left( 1;e \right) \).

 \( \Rightarrow {g}'(t)>0,\forall t\in \left( 1;e \right) \)

 \( \Rightarrow g(t) \) đồng biến trên khoảng (1;e)  \( \Rightarrow g(1)<g(t)<g(e),\forall t\in \left( 1;e \right) \)

Vậy bất phương trình  \( f\left( {{e}^{x}} \right)<m\left( 3{{e}^{x}}+2019 \right) \) có nghiệm  \( x\in \left( 0;1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \frac{f(t)}{3t+2019}g(1)=-\frac{4}{2022}=-\frac{2}{1011} \)

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ -1;9 \right] \) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình  \( {{16.3}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right]{{.4}^{f(x)}}\ge \left( {{m}^{2}}-3m \right){{.6}^{f(x)}} \) nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc  \( \left[ -1;9 \right] \)?

A. 32

B. 31

C. 5                                   

D. 6

Đáp án B.

Dễ thấy  \( -4\le f(x)\le 2,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \) (1) nên  \( -\left[ f(x)+4 \right].\left[ f(x)-2 \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \)

Do đó:  \( -\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \) (2).

Ta có:  \( {{16.3}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right]{{.4}^{f(x)}}\ge \left( {{m}^{2}}-3m \right){{.6}^{f(x)}} \) nghiệm đúng với mọi  \( x\in \left[ -1;9 \right] \).

 \( \Leftrightarrow 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge {{m}^{2}}-3m  \) nghiệm đúng với mọi  \( x\in \left[ -1;9 \right] \).

\( \Leftrightarrow \alpha =\displaystyle \min_{[-1;9]}\left\{ 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}} \right\}\ge {{m}^{2}}-3m  \) (3)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}\ge {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}} \) và  \( -\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \).

Suy ra:  \( \Leftrightarrow 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge 4,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \).

Dầu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( f(x)=2\Leftrightarrow x=-1\vee x=a\text{ }\left( 7<a<8 \right) \)

Do đó:  \( \alpha =4 \) và  \( (3)\Leftrightarrow 4\ge {{m}^{2}}-3m\Leftrightarrow -1\le m\le 4 \)

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ -1;0;1;2;3;4 \right\} \)

Ví dụ 7. Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình  \( {{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}} \) có nghiệm?

A. 10

B. Vô số

C. 9                                   

D. 1

Đáp án B.

Từ giả thiết, ta chỉ xét  \( m\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \)

Ta có:  \( {{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}\)\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m  \) (1)

Có \(\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge 2\sqrt{{{\left( \frac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}.{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}}=2{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\)

Do đó, nếu có xO là nghiệm của bất phương trình \(2{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m\) thì xO cũng là nghiệm của  \( {{\left( \frac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m  \).

Ta xét các giá trị \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\) làm cho bất phương trình \(2{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m\) (2) có nghiệm.

Vì \(2{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m\Leftrightarrow {{\left( \frac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge \frac{m}{2},m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}x\ge {{\log }_{\frac{6}{5}}}\left( \frac{m}{2} \right)\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\frac{6}{5}}}\left( \frac{m}{2} \right),m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\)

Vậy với \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\) thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là \(x\ge \frac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\frac{6}{5}}}\left( \frac{m}{2} \right)\)

Suy ra có vô số giá trị \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\) làm cho bất phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 8. Cho hàm số  \( f(x)=\cos 2x  \). Bất phương trình  \( {{f}^{\left( 2019 \right)}}(x)>m  \) đúng với mọi  \( x\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{3\pi }{8} \right) \) khi và chỉ khi

A. \( m<{{2}^{2018}} \)

B.  \( m\le {{2}^{2018}} \)

C.  \( m\le {{2}^{2019}} \)     

D.  \( m<{{2}^{2019}} \)

Đáp án B.

Xét hàm số  \( f(x)=\cos 2x  \).TXĐ:  \( \mathbb{R} \).

Ta có:  \( {f}'(x)=-2\sin 2x  \),  \( {f}”(x)=-{{2}^{2}}\cos 2x  \),  \( {f}”'(x)={{2}^{3}}\sin 2x  \),  \( {{f}^{(4)}}(x)={{2}^{4}}\cos 2x  \).

Suy ra:  \( {{f}^{(2016)}}(x)={{2}^{2016}}\cos 2x  \) \( \Rightarrow {{f}^{(2017)}}(x)=-{{2}^{2017}}\sin 2x  \)

 \( \Rightarrow {{f}^{(2018)}}(x)=-{{2}^{2018}}\cos 2x  \) \( \Rightarrow {{f}^{(2019)}}(x)={{2}^{2019}}\sin 2x  \)

Vì  \( x\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{3\pi }{8} \right) \) nên  \( \frac{1}{2}<\sin 2x<\frac{\sqrt{2}}{2} \) hay  \( {{f}^{(2019)}}(x)>{{2}^{2018}},\forall x\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{3\pi }{8} \right) \)

Vậy  \( {{f}^{(2019)}}(x)>m  \) đúng  \( \forall x\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{3\pi }{8} \right) \) khi và chỉ khi  \( m\le {{2}^{2018}} \).

Ví dụ 9. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình  \( f(x)>{{2}^{x}}+m  \) đúng với  \( \forall x\in \left( -1;1 \right) \) khi và chỉ khi:

A. \( m>f(1)-2 \)

B.  \( m\le f(1)-2 \)            

C.  \( m\le f(1)-\frac{1}{2} \)

D.  \( m>f(1)-\frac{1}{2} \)

Đáp án B.

 \( f(x)>{{2}^{x}}+m,\forall x\in \left( -1;1 \right) \) \( \Leftrightarrow f(x)-{{2}^{x}}>0\Leftrightarrow f(x)-{{2}^{x}}>m \)

Xét hàm số  \( g(x)=f(x)-{{2}^{x}} \) trên  \( \left( -1;1 \right) \).

Ta có:  \( {g}'(x)={f}'(x)-{{2}^{x}}.\ln 2 \)

Ta thấy:  \( \forall x\in \left( -1;1 \right) \) thì  \( {f}'(x)\le 0 \) và  \( {{2}^{x}}.\ln 2>0 \).

Do đó:  \( {g}'(x)={f}'(x)-{{2}^{x}}.\ln 2<0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:  \( m\le g(1)\Leftrightarrow m\le f(1)-2 \)

Ví dụ 10. Số giá trị nguyên dương của tham số m m để bất phương trình \( {{9}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}}}+{{2.3}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}}}<{{3}^{2x-3}} \) có nghiệm là

A. 4

B. 8

C. 1                                   

D. 6

Đáp án C.

Đặt  \( t={{3}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x}} \) với t > 0, bất phương trình đã cho trở thành  \( {{t}^{2}}+\frac{2}{9}t-\frac{1}{27}<0\Leftrightarrow -3<t<\frac{1}{9} \).

Do đó:  \( 0<t<\frac{1}{9}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x<-2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}<x-2 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x>0 \\  & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-3x+m<{{x}^{2}}-4x+4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>2 \\  & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\  & x<4-m \\ \end{align} \right.\text{ }\left( I \right) \).

Để bất phương trình đề bài cho có nghiệm thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm ta đặt

\( \left\{ \begin{align} & x>2\text{ }(1) \\ & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0\text{ }(2) \\  & x<4-m\text{ }(3) \\ \end{align} \right. \)

Điều kiện cần: Từ (1) và (3), ta có:  \( 4-m>2\Leftrightarrow m<2 \)

Do m là số nguyên dương nên m = 1.

Điều kiện đủ: Với m = 1, hệ bất phương trình (I) trở thành  \( \left\{ \begin{align} & x>2 \\  & {{x}^{2}}-3x+1\ge 0 \\  & x<3 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2<x<3 \\  & x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\vee x>\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3 \)

Do đó, hệ bất phương trình (I) có nghiệm.

Vậy m = 1.

Ví dụ 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)-m\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)-x+{{e}^{x-1}}\ge 0 \) đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Số tập con của S là

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. 1

Đáp án B.

Xét hàm số  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)-m\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)-x+{{e}^{x-1}} \) trên  \( \mathbb{R} \).

Ta có:  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-m\left( 3{{x}^{2}}-2x \right)-1+{{e}^{x-1}} \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \).

Do f(1) = 0 nên từ giả thiết, ta có:  \( f(x)\ge f(1),\forall x\in \mathbb{R} \) \( \Rightarrow  \displaystyle \min_{\mathbb{R}}f(x)=f(1) \)

\( \Rightarrow {f}'(1)=0\Rightarrow {{m}^{2}}-m=0\Rightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\  & m=0 \\ \end{align} \right. \)

+ Với  \( m=0 \), ta có:  \( f(x)={{e}^{x-1}}-x\Rightarrow {f}'(x)={{e}^{x-1}}-1 \).

Cho  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của f(x):

Trường hợp m = 0, yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

+ Với m = 1, ta có:  \( f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+{{e}^{x-1}} \) \( ={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{x}^{2}}+{{e}^{x-1}}-x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Trường hợp m = 1, yêu cầu bài toán cũng được thỏa mãn.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!