Home Toán học Bài tập Bất phương trình mũ chứa tham số m

Bài tập Bất phương trình mũ chứa tham số m

by AdminTLH

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình \( {{9}^{x}}-2(m+1){{.3}^{x}}-3-2m>0 \) có nghiệm đúng với mọi số thực x là:

A. \( m\le -\frac{3}{2} \)

B.  \( m\ne 2 \)                  

C.  \( m<-\frac{3}{2} \)   

D.  \( m\in \varnothing  \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {{9}^{x}}-2(m+1){{.3}^{x}}-3-2m>0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-{{2.3}^{x}}-3>\left( {{3}^{x}}+1 \right).2m  \)

 \( \Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}+1 \right)\left( {{3}^{x}}-3 \right)>\left( {{3}^{x}}+1 \right).2m  \) \( \Leftrightarrow {{3}^{x}}-3>2m\Leftrightarrow {{3}^{x}}>3+2m  \)

Vậy để  \( {{9}^{x}}-2(m+1){{.3}^{x}}-3-2m>0,\forall x\in \mathbb{R} \) khi  \( 3+2m\le 0\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2} \)

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0\) chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3281

B. 3283

C. 3280                            

D. 3279

Đáp án C.

Do m là số nguyên dương nên  \( 2m>1\Rightarrow {{\log }_{3}}2m>0 \)

\(\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}={{3}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

 \( {{3}^{x}}-2m=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2m  \)

Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là \(\left( -\frac{3}{2};{{\log }_{3}}2m \right)\).

Suy ra,  \( {{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}} \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{6561}{2}=3280,5 \)

Ví dụ 3. Cho a > 1. Biết khi a = aO thì bất phương trình \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}} \) đúng với mọi  \( x\in \left( 1;+\infty  \right) \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( 1<{{a}_{0}}<2 \)

B.  \( e<{{a}_{0}}<{{e}^{2}} \)                             

C.  \( 2<{{a}_{0}}<3 \)           

D.  \( {{e}^{2}}<{{a}_{0}}<{{e}^{3}} \)

Đáp án C.

 \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}}\Leftrightarrow a.\ln x\le x.\ln a\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le \frac{x}{\ln x} \)

Đặt  \( f(x)=\frac{x}{\ln x},x\in \left( 1;+\infty  \right) \)

 \( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \),  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Bảng biến thiên:

Bất phương trình nghiệm đúng  \( \forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le e  \)

 \( \Leftrightarrow a\le e.\ln a\Leftrightarrow a-e.\ln a\le 0 \)

Xét hàm số:  \( g(x)=x-e\ln x  \);  \( {g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} \)

 \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Do đó,  \( a-e\ln a\ge 0 \)

Theo bảng biến thiên, ta có:  \( a-e\ln a\le 0\Leftrightarrow a=e  \)

Vậy  \( a={{a}_{0}}=e\in \left( 2;3 \right) \).

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau xác định trên \( \mathbb{R} \): \( y=\sqrt{{{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x}}-m} \)

A. Đáp án khác

B. \( m>-1 \)                    

C.  \( m<0 \)                     

D.  \( -3-2\sqrt{2}\le m\le -3+2\sqrt{2} \)

Đáp án A.

Hàm số  \( y=\sqrt{{{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x}}-m} \) xác định trên  \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi  \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x}}-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Đặt  \( t={{2}^{x}}\text{ }\left( t>0 \right) \).

Khi đó:  \( {{t}^{2}}-(m+1)t-m\ge 0,\forall t>0 \) \( \Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\ge m,\forall t>0 \)

Xét hàm số:  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-t}{t+1},t>0 \)

Ta có:  \( {f}'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t-t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \),  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0 \) \( \Rightarrow t=-1+\sqrt{2}\text{ }\left( do\text{ }t>0 \right) \)

Lập bảng biến thiên ta tìm được: \( \displaystyle \min_{(0;+\infty)}f(t)=f\left( -1+\sqrt{2} \right)=-3+2\sqrt{2} \)

Để bất phương trình  \( \Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\ge m,\forall t>0 \) \( \Leftrightarrow m\le -3+2\sqrt{2} \)

Ví dụ 5. Bất phương trình \( {{4}^{x}}-(m+1){{2}^{x+1}}+m\ge 0 \) nghiệm đúng với mọi  \( x\ge 0 \). Tập tất cả các giá trị của m là:

A. \( \left( -\infty ;12 \right) \)

B.  \( \left( -\infty ;-1 \right] \)             

C.  \( \left( -\infty ;0 \right] \)                       

D.  \( \left( -1;16 \right] \)

Đáp án B.

Đặt  \( t={{2}^{x}} \),  \( (t\ge 1) \)

Bất phương trình  \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0\Leftrightarrow (2t-1)m\le {{t}^{2}}-2t  \)

 \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}=g(t)\Leftrightarrow m\le \min g(t) \)

Ta có:  \( {g}'(t)=\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{(2t-1)}^{2}}}>0,\forall t\ge 1 \) \( \Rightarrow \min g(t)=g(1)=-1\Rightarrow m\in \left( -\infty ;-1 \right] \)

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{4}^{x-1}}-m\left( {{2}^{x}}+1 \right)>0 \) nghiệm đúng với mọi  \( x\in \mathbb{R} \).

A. \( m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right) \)                            

B.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right] \)                                      

C.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

D.  \( m\in \left( 0;1 \right) \)

Đáp án B.

Bất phương trình:  \( {{4}^{x-1}}-m\left( {{2}^{x}}+1 \right)>0 \) (1)

Đồ thị hàm số y = f(t) có đồ thị hàm số là một Parabol với hệ số a dương, đỉnh  \( I\left( 2m;-4{{m}^{2}}-4m \right) \) .

Bất phương trình (1) nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \) Bất phương trình (2) nghiệm đúng  \( \forall t>0 \) hay  \( f(t)>0,\forall t>0 \).

TH1:  \( m\le 0\Rightarrow f(0)=-4m\ge 0\Rightarrow m\le 0 \) (thỏa mãn)

TH2:  \( m>0\Rightarrow -4{{m}^{2}}-4m<0\Rightarrow m>0 \) (không thỏa mãn)

Vậy  \( m\le 0 \)

Ví dụ 7. Bất phương trình \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0 \) nghiệm đúng với  \( x\ge 0 \). Tập tất cả các giá trị của m là

A. \( \left( -\infty ;12 \right) \)

B.  \( \left( -\infty ;-1 \right] \)             

C.  \( \left( -\infty ;0 \right] \)                       

D.  \( \left( -1;16 \right] \)

Đáp án B.

 \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0,\forall x\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-2(m+1){{.2}^{x}}+m\ge 0,\text{ }\forall x>0 \) (1)

Đặt  \( t={{2}^{x}},t>0 \)

(1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0,\forall t\ge 1 \) (2)

Cách 1:

(2) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1},\forall t\ge 1 \)  (3)

Xét hàm số  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1} \). Ta có hàm số  \( y=f(t) \) liên tục trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \).

 \( {f}'(t)=\frac{(2t-2)(2t-1)-2({{t}^{2}}-2t)}{{{(2t-1)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{(2t-1)}^{2}}}>0,\forall t\ge 1 \)

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \) \( \Rightarrow f(t)\ge f(1)=-1,\forall t\ge 1 \)

Do đó (3)\( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \min_{[0;+\infty)}f(t)\Leftrightarrow m\le -1 \)

Cách 2:

 \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0 \) là một bất phương trình bậc 2.

Ta có:  \( {\Delta }’={{m}^{2}}+m+1>0,\forall m  \) nên  \( t\le m+1-\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\vee t\ge m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1} \)

(2) \( \Leftrightarrow m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le 1 \)   \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le -m  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\  & {{m}^{2}}+m+1\le {{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -1 \)

Ví dụ 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m\in \left[ -10;10 \right] \) để bất phương trình sau nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \):  \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \)

A. 10

B. 9

C. 12                                

D. 11

Đáp án D.

Ta có:  \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \) \( \Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}>\left( m+1 \right){{.2}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}>m+1 \)

 \( t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}},t>0\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).

Bất phương trình đã cho trở thành:  \( t+\left( 2-m \right).\frac{1}{t}>m+1\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}>m  \)

Xét hàm số  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-3 \\  & t=0 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m < 1.

Suy ra trong đoạn  \( \left[ -10;10 \right] \) có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 9. Tìm m để bất phương trình: \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) có tập nghiệm là  \( \mathbb{R} \).

A. ln120

B. ln10                             

C. ln30                             

D. ln14

Đáp án A.

Với a > 1, ta có: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{e}^{x\ln a}}-1}{x\ln a}.\ln a=\ln a  \)

Với a > 1, xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \)  \( \left( x\ne 0 \right) \), ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1}{{{x}^{2}}} \).

Xét hàm số  \( g(x)=x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1 \) \( \Rightarrow {g}'(x)={{a}^{x}}\ln a+x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a-{{a}^{x}}\ln a=x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a \)

Với x > 0, ta có:  \( {g}'(x)>0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Với x < 0, ta có:  \( {g}'(x)<0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Do đó, hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \) (a > 1) đồng biến trên các khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Trở lại bài toán:

+ Xét x = 0, bất phương trình thỏa mãn.

+ Xét x > 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

+ Xét x < 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\ge \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow m\ge \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

Kết hợp lại ta có: m = ln120.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!