Home Toán học Bài tập Bất phương trình Logarit chứa tham số m

Bài tập Bất phương trình Logarit chứa tham số m

by AdminTLH

Bài tập Bất phương trình Logarit chứa tham số m

Ví dụ 1. Cho a là số thực dương, \( a\ne 1 \). Biết bất phương trình  \( 2{{\log }_{a}}x\le x-1 \) nghiệm đúng với mọi  \( x>0 \). Số a thuộc tập hợp nào sau đây?

A. (7;8)

B. (3;5]                             

C. (2;3)                             

D.  \( \left( 8;+\infty  \right) \)

Đáp án A.

Ta có: Với x = 1 thì  \( 2{{\log }_{a}}1=0=0=1-1 \)

Ta sẽ tìm a để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) tại điểm  \( x=1 \).

Có:  \( {y}’=\frac{2}{x\ln a}\Rightarrow {y}'(1)=\frac{2}{\ln a} \)

Phương trình tiếp tuyến:  \( y=\frac{2}{\ln a}\left( x-1 \right) \)

Vậy để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) thì  \( \frac{2}{\ln a}=1\Leftrightarrow \ln a=2\Leftrightarrow a={{e}^{2}} \)

Thử lại  \( a={{e}^{2}} \) ta sẽ chứng minh  \( 2{{\log }_{{{e}^{2}}}}\le x-1\Leftrightarrow \ln x\le x-1 \)

 \( \Leftrightarrow f(x)=\ln x-x+1\le 0,\forall x>0 \)

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x} \) \( \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( f(x)\le 0\Leftrightarrow \ln x\le x-1,\forall x>0 \)

Ví dụ 2. Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \). Giá trị của  \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right) \) xấp xỉ bằng:

A. 19

B. 26

C. 25                                

D. 23.

Đáp án D.

Từ giả thiết  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \).

Đặt  \( {{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}} \).

Ta được bất phương trình:  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \).

Đặt  \( f(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{9}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{8}{9}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{9}<0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Do đó, f(x) là hàm số nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \). Và ta lại có f(2) = 1.

Từ  \( {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \) \( \Leftrightarrow f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2 \)

Suy ra  \( a<{{64}^{2}}=4096 \) mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a = 4095.

Vậy  \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right)={{\log }_{2}}\left( 2017.4095 \right)\approx 29,977764\approx 23 \)

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{0,02}}\left( {{\log }_{2}}\left( {{3}^{x}}+1 \right) \right)>{{\log }_{0,02}}m \) có nghiệm với \(x\in \left( -\infty ;0 \right) \).

A. \( m\ge 1 \)                                          

B.  \( 0<m<1 \)                

C.  \( m>1 \) 

D.  \( m<2 \)

Đáp án A.

Điều kiện:  \( x\in \mathbb{R} \), m > 0.

Ta có:  \( {{\log }_{0,02}}\left( {{\log }_{2}}\left( {{3}^{x}}+1 \right) \right)>{{\log }_{0,02}}m  \),  \( \forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \).

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{3}^{x}}+1 \right)<m,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) \( \Leftrightarrow {{3}^{x}}+1<{{2}^{m}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

Xét hàm số  \( f(x)={{3}^{x}}+1 \) trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \).

Ta có:  \( {f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3>0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

Bảng biến thiên:

Để phương trình có nghiệm với  \( \forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) ta phải có:  \( {{2}^{m}}\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1 \)

Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Tính S.

A. S = 14

B. S = 0

C. S = 12                         

D. S = 35.

Đáp án C.

Ta có:  \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Bất phương trình đã cho đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi các bất phương trình (1), (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

Xét  \( (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \) (1).

+ Khi m = 7, ta có (1) trở thành  \( -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0 \). Do đó, m = 7 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 7 \), ta có (1) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7-m>0 \\ & {\Delta }’\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 5 \) (*)

Xét  \( m{{x}^{2}}+4x+m>0 \) (2)

+ Khi m = 0, ta có (2) trở thành  \( -4x>0\Leftrightarrow x<0 \). Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 0 \), ta có (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & {\Delta }'<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \) (**)

Từ (*) và (**), ta có:  \( 2<m\le 5 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \). Từ đó  \( S=3+4+5=12 \).

Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 5

B. 4

C. 0                                   

D. 3

Đáp án D.

Cách 1:

Bất phương trình:  \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(x)=(m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & g(x)=m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 1: m = 7

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x\le 0 \\ & 7{{x}^{2}}+4x+7>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 7 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: m = 0.

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -7{{x}^{2}}+4x-7\le 0 \\  & 4x>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 3:  \( m\ne 0;m\ne 7 \)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{f}}<0 \\  & \Delta _{f}^{/}\le 0 \\  & {{a}_{g}}>0 \\  & \Delta _{g}^{/}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7<0 \\ & 4-{{(m-7)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\  & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2< m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

Cách 2:

\({{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}-4x+7\ge m\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ & m\left( {{x}^{2}}+1 \right)>-4x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le \frac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=7-\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\  & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) (*)

Xét hàm số  \( g(x)=-\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \mathbb{R} \).

\({g}'(x)=\frac{-4({{x}^{2}}+1)+4x({{x}^{2}}+1{)}’}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}\)

\({g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7\le -2 \\  & m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \) có nghiệm.

A. \( m\le 2 \)                                          

B.  \( m\in \mathbb{R} \) 

C. m < 2           

D. Không tồn tại m.

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}  & x>1 \\  & {{x}^{3}}+x-m>0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình tương đương  \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \)

 \( \Leftrightarrow x-1<{{x}^{3}}+x-m\Leftrightarrow {{x}^{3}}+1>m  \)

Khi đó, ta có:  \( f(x)={{x}^{3}}+1>m,\text{ }\left( x>1 \right) \)\( \Leftrightarrow m<\displaystyle \min_{(1;+\infty)}f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\notin \left( 1;+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên về đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn  \( m\in \mathbb{R} \)

Ví dụ 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. 1

Đáp án D.

Ta thấy  \( {{x}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Do đó bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+2\ge {{x}^{2}}+2\Leftrightarrow mx+m\ge 0\)

Bất phương trình  \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi  \( mx+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m=0 \).

Ví dụ 8. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 1 \) và  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

A. \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\}\)

B.  \( S=\left\{ -1;1 \right\} \)

C.  \( S=\left\{ -5;5 \right\} \)    

D.  \( S=\left\{ -7;-5;-1;1;5;7 \right\} \)

Đáp án A.

Nhận thấy  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \) với mọi  \( x,y\in \mathbb{R} \) nên:

 \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8-{{m}^{2}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{m}^{2}} \) (*)

Khi m = 0 thì  \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \). Cặp (2;2) không là nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

Khi  \( m\ne 0 \), tập hợp các điểm  \( \left( x;y \right) \) thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J(2;2), bán kính là  \( \left| m \right| \).

Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để điện trở tâm  \( I\left( -1;2 \right) \), bán kính 2 và hình tròn tâm J(2;2), bán kính  \( \left| m \right| \) có đúng một điểm chung (hình vẽ)

Điều này xảy ra khi \(\left[ \begin{align}  & \left| m \right|=1 \\  & \left| m \right|=5 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\pm 1 \\  & m=\pm 5 \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn  \( m\ne 0 \)).

Vậy  \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\} \)

Ví dụ 9. Xét bất phương trình \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \).

A. \( m\in \left( -\frac{3}{4};0 \right) \)

B.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

C.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right) \)               

D.  \( m\in \left( -\frac{3}{4};+\infty  \right) \)

Đáp án D.

Bất phương trình  \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \) \( \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0 \) (1).

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), vì  \( x\in \left( \sqrt{2};+\infty  \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow 2mt>{{t}^{2}}-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2m>\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) (2).

Đặt  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) với  \( t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Ta có:  \( {f}'(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi  \( 2m>-\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4} \)

Ví dụ 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge 0 \) thỏa mãn với  \( \forall x>0 \). Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.

A. 2

B. 0

C. 1                                   

D.  \( -2 \)

Đáp án C.

Đặt  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge  \)

Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).

Bất phương trình đã cho viết thành  \( f(x)\ge 0 \).

Giả sử  \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).

 \( f(x)\ge 0 \) với  \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.

Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).

Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).

Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .

 \( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)

Ta có:  \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)

Suy ra  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).

Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy  \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).

Ví dụ 11. Cho bất phương trình \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right) \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

A. 36

B. 34                                 

C. 35                                

D. Vô số.

Đáp án A.

 \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+6x+5+m>0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\  &6{{x}^{2}}+8x+9>m,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & m<{{x}^{2}}+6x+5,\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét  \( g(x)=-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),x\in \left( 1;3 \right) \) có  \( g(x)=-{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4<-{{(1+3)}^{2}}+4=-12,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (1)\Leftrightarrow m\ge -12 \)

Xét \(h(x)=6{{x}^{2}}+8x+9,x\in \left( 1;3 \right)\), có  \( h(x)>{{6.1}^{2}}+8.1+9=23,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (2)\Leftrightarrow m\le 23 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in \left[ -12;23 \right] \) nên ta được tập các giá trị của  \( m\in \left\{ -12;-11;-10;…;23 \right\} \).

Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 12. Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình \(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) có nghiệm. Cho đáp án đúng trong các khẳng định sau:

A. \( {{m}_{0}}\in \left( 9;10 \right) \)

B.  \( {{m}_{0}}\in \left( 8;9 \right) \)           

C.  \( {{m}_{0}}\in \left( -10;-9 \right) \)    

D.  \( {{m}_{0}}\in \left( -9;-8 \right) \)

Đáp án C.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align}  & -1 < x<2 \\  & m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1< x<2 \\  & m>\frac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\ \end{align} \right.\) (*)

Với điều kiện trên bất phương trình:

\(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right)\left( x+1 \right) \right]\le {{\log }_{2}}{{\left[ m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right]}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\frac{x}{2}+4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \)

 \( \Leftrightarrow m\ge \frac{x}{2}-4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) (1)

Ta thấy các nghiệm của (1) trong khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) luôn thỏa mãn (*)

Đặt \(t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\), t > 0 với  \( x\in \left( -1;2 \right) \)

Xét \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\) với \(x\in \left( -1;2 \right)\).

 \( {f}'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=\frac{2\sqrt{2-x}-\sqrt{2x+2}}{2\sqrt{(2-x)(2x+2)}} \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=\sqrt{2x+2}\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Suy ra khi  \( x\in \left( -1;2 \right) \) khi  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \).

Ta có:  \( {{t}^{2}}=4+x+2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\sqrt{(2-x)(2x+2)}=\frac{{{t}^{2}}-4}{2} \)

(1) trở thành:  \( m\ge \frac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\Leftrightarrow 2m\ge {{t}^{2}}-8t-4 \) (2)

(1) có nghiệm  \( x\in \left( -1;2 \right) \) \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm \(t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\).

Xét hàm số  \( y=g(t)={{t}^{2}}-8t-4 \)  trên \(\left( \sqrt{3};3 \right]\).

Bảng biến thiên:

Do đó, bất phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right]  \)khi và chỉ khi  \( 2m\ge 19\Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{2} \).

Suy ra:  \( {{m}_{0}}=-\frac{19}{2}\in \left( -10;-9 \right) \).

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!