Home Toán học Bài 1 – Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C trên đoạn AO, C khác A và O. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D.

Bài 1 – Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C trên đoạn AO, C khác A và O. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D.

by AdminTLH

Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C trên đoạn AO, C khác A và O. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D. Gọi E là trung điểm đoạn CD. Tia AE cắt nửa đường tròn (O) tại M.

a) Chứng minh tứ giác BCEM nội tiếp.

b) Chứng minh  \( \widehat{AMD}+\widehat{DAM}=\widehat{DEM} \)

c) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh:  \( {{FD}^{2}}=FA.FB \) và  \( \frac{CA}{CD}=\frac{FD}{FB} \).

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C trên đoạn AO, C khác A và O.

a) Chứng minh tứ giác BCEM nội tiếp.

Xét tứ giác BCEM, ta có:

 \( \widehat{BCE}={{90}^{0}} \)

 \( \widehat{BME}={{90}^{0}} \) ( \( \widehat{BMA} \) góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat{BCE}+\widehat{BME}={{180}^{0}} \) và chúng đối nhau.

Vậy tứ giác BCEM là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính BE (tổng 2 góc đối bằng 1800)

b) Chứng minh  \( \widehat{AMD}+\widehat{DAM}=\widehat{DEM} \)

Ta có:  \( \widehat{DEM}=\widehat{CBM} \) (góc trong bằng góc đối ngoài của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEM)

 \( \widehat{CBM}=\widehat{CBD}+\widehat{DBM} \)

Mà  \( \widehat{CBD}=\widehat{DMA} \) (do  \( \widehat{ABD}=\widehat{DMA} \) cùng chắn cung AD)

 \( \widehat{DBM}=\widehat{DAM} \) (cùng chắn cung DM)

Do đó:  \( \widehat{CBM}=\widehat{CBD}+\widehat{DBM} \)

 \( \Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{DMA}+\widehat{DAM} \)

c) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh:  \( F{{D}^{2}}=FA.FB \) và  \( \frac{CA}{CD}=\frac{FD}{FB} \).

+ Chứng minh:  \( F{{D}^{2}}=FA.FB \)

Xét \( \Delta FDB \) và  \( \Delta FDA \), ta có:

 \( \widehat{F} \) chung

 \( \widehat{FDA}=\widehat{DBA}=\widehat{DBF} \) (góc giữa tia tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp chắn cung AD)

 \( \Rightarrow \Delta FDA ∽ \Delta FBD \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{FD}{FB}=\frac{FA}{FD} \) (tỉ số đồng dạng) (1)

 \( \Rightarrow F{{D}^{2}}=FA.FB \)

+ Chứng minh:  \( \frac{CA}{CD}=\frac{FD}{FB} \).

Ta có: \( \widehat{FDA}=\widehat{FBD} \) (cùng chắn cung AD)

 \( \widehat{ADC}+\widehat{DAC}=\widehat{ABD}+\widehat{DAB}={{90}^{0}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{ABD}=\widehat{FBD} \) (hoặc 2 góc cùng phụ  \( \widehat{DAB} \))

 \( \Rightarrow \widehat{FDA}=\widehat{ADC} \)

 \( \Rightarrow DA \) là tia phân giác của góc \( \widehat{CDF} \)

\( \Rightarrow \frac{CA}{CD}=\frac{FA}{FD} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( \frac{CA}{CD}=\frac{FD}{FB} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!